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1、第十章 机械的平衡内容提要本章主要介绍机械平衡的基本概念， 刚性转子的静平衡设计与静平衡实验， 刚性转子的动平 衡设计与动平衡实验，简要介绍挠性转子的动平衡设计。10.1 概述10.1.1机械平衡的目的（空两格，每段都检查一下）机械运动时，各运动构件由于制造、装配误差，材质不均等 原因造成质量分布不均， 使得质心不在回转轴线上， 导致构件所产生的不平衡惯性力将在运动副 中引起附加的动载荷。 这不仅在加剧了运动副的磨损， 降低了机械的效率， 而且会降低构件的有 效承载能力， 缩短构件的使用寿命。 此外， 由于这些不平衡惯性力的大小和方向都是周期性变化 的， 所以将会引起机械及其基础产生强迫振动。
2、如果振动频率接近系统的固有频率， 将会引起工作 （语句有错误 ） ，导致零件材料内部疲劳损伤加剧，从而有可能使机械设备遭到破坏，影响机械 工作质量，甚至危及人员及厂房安全。尤其在高速、重型机械和精密机械中，更应注意平衡这一 问题。例如某航空电机的转子，自重为10N，重心与回转轴线的距离为 0.2 mm，当工作转速为9000r/min时，该转子产生的离心惯性力为180N，为转子自重的18倍。转子在转动时，惯性力的大小和方向始终在变化， 将对运动副产生动压力。 可见， 惯性力对机械的工作性能有极大的影 响，必须予以高度的重视。机械平衡的目的是研究惯性力分布及其变化规律， 采取相应的措施消除或尽量减
3、小惯性力的 不良影响，以改善机械的工作性能、延长机械的使用寿命、降低噪音污染，并改善现场的工作环 境。应当指出，不平衡惯性力并非都是有害的，如振实机、按摩机、蛙式打夯机、振动打桩机、 振动运输机等却是利用构件产生的不平衡惯性力所引起的振动来工作的。对于此类机械， 则是如何合理利用不平衡惯性力的问题。10.1.2 机械平衡研究的内容1. 转子的平衡绕固定轴回转的构件称为转子， 如汽轮机、 发电机、 电动机、 离心机等机器都以转子为工作 的主体。转子可分为刚性转子和挠性转子两种。1 ）刚性转子的平衡当转子的工作转速低于其一阶临界转速时（一般为0.60.75nc1,（直接用word编写，不要用公式编
4、译器）nci为转子的一阶自振频率），其旋转轴线挠曲变形可以忽略，完全可以看作是刚性物体，此时称为刚性转子。刚性转子平衡时可基于理论力学中力系平衡的原理，通过重新调整转子上质量的分布， 使其质心位于回转轴线的方法来实现。刚性转子的平衡是本章要介绍的主要内容。2）挠性转子的平衡当转子的工作转速高于其一阶临界转速时，且转子的径向尺寸较小，长径比较大，重量大， 此时转子在工作过程中会产生较大的弯曲变形，此变形不可忽略，并且离心惯性力会显著增加， 此时称为挠性转子。挠性转子平衡时可基于弹性梁的横向振动理论，其平衡难度很大，本章只作简单介绍。2.机构的平衡对于存在有往复运动或平面复合运动构件的机构，因其质
5、心位置随机构的运动而发生变化， 其惯性力无法就该构件本身加以平衡，因而必须就整个机构加以研究，设法使机构的惯性力的合力和力偶得到完全或部分的平衡。此类平衡问题必须就整个机构加以研究，称为机构的平衡。机械平衡的方法有平衡设计和平衡试验。在设计阶段，除应满足机械的工作要求及制造工艺要求外，还应在结构上采取措施消除或减少产生有害振动的不平衡惯性力与惯性力矩，该过程称为机械的平衡设计。经平衡设计的机械，尽管理论上已经达到平衡，但由于制造误差、装配误差 及材质不均匀等非设计因素的影响，实际制造出来后往往达不到原始的设计要求，仍会产生新的不平衡现象。这种不平衡在设计阶段是无法确定和消除的，必须采用试验的方
6、法对其做进一步平衡。10.2刚性转子的平衡10.2.1刚性转子的静平衡对于轴向尺寸较小的盘状转子（即转子的轴向宽度b （字母一般用斜体）与其直径 D之比b/D<0.2），例如砂轮、飞轮以及大部分的齿轮和带轮，它们的质量可近似的认为分布在同一回转 面内。如果质心不在回转轴线上，当转子回转时偏心质量就会产生离心惯性力，从而在运动副中引起附加的动压力。这种不平衡现象在转子静态时即可表现出来，故称为静不平衡。为了消除离心惯性力的影响，设计时应首先根据转子的结构确定各偏心质量的大小和方位，然后计算为平衡偏心质量所需增加或减小的平衡质量的大小和方位，以使所设计的转子理论上达到静平衡。该过程称为刚性转
7、子的静平衡设计。如图10-1a所示盘状转子，已知分布于同一回转平面内的偏心质量为m“ m2和m3,回转中心至各偏心质量的矢径分别为 1、辽和心。（为了保证行间距，文中的一般符号用 word编译，不 要用公式编译器）当转子以等角速度 转动时，各偏心质量所产生的离心惯性力分别为（公式要居中插入）(10-1)为平衡上述离心惯性力，可在该平面内矢径为rb处增加一个平衡质量mb,使其产生的离心F = m©2rii =1, 2, 3惯性力为Fb与各偏心质量的离心惯性力Fi相平衡，即' F = Fb - Fi - F2 + F3 = 0（ 10-2）式中Fb二£所以mb 2rb2
8、百 m2 2r22r3 = 0消去；后可得mb rb 叶百 m2r2 讥总=0（ 10-3）式（10-3）中质量与矢径的乘积mi r i称为质径积，它表示在同一转速下转子上各离心惯性力的相对大小和方位。由上述分析可知，刚性转子静平衡的条件为分布于转子上的各偏心质量的离心惯性力的合力为零或其质径积的矢量和为零。图10-1刚性转子的静平衡设计平衡块的质径积 叫匚的大小和方位，可用图解法或者解析法来求得。图解法是根据各偏图上的尺寸mm接的矢量图，最后用平衡质量的质径积m.rb去封闭矢量图，即可得到平衡质量质径积的大小和方位，如图10-1b所示为用图解法求解的过程。解析法是以回转中心为原点0,在回转平
9、面内创建直角坐标系xOy，根据力平衡条件,由Fx =0及Fy =0可得mb rbco s b 二 mcos二(10-4)m, rbsi n 厂二 im ir s 亦尸式中，q为第i个偏心质量 m的矢径ri与x方向的夹角（从x轴正向到斤，沿逆时针方向为正），%为平衡质量的方位角。解方程（10-4），可求出应在转子上增加的平衡质量的质径积叫心的大小。(10-5)根据转子结构选定rb后，即可求出平衡质量 叽，其所在的方位角 入为:n-Z mn sinq入=arcta ni =1(10-6)m ri cosq根据式（10-6）中分子分母的正负号可确定-b所在的象限。静平衡设计的几点说明：（1） 为使转
10、子总质量不致过大，应尽可能将rb选大些。（2） 若转子实际结构不允许在矢径rb方向（兀方向）上安装平衡质量，即采用增重法，亦可在矢径rb的反方向（-入方向）上去除相应的质量来使转子得到平衡，即为去重法。（3） 若偏心质量所在的回转平面内，实际结构不允许安装或去除平衡质量，则应根据平行力的合成与分解原理，在另外两个回转平面内分别安装或去除合适的平衡质量。（4） 对于静不平衡的转子，无论有多少个偏心质量，都只需要在同一平衡面内适当地增加 或去除一个平衡质量即可获得平衡，故静平衡又称单面平衡。例10-1 :图10-2所示的盘形回转件上存在三个偏心质量，已知m10kg，m, =15kg，m3 =15k
11、g , ri =50mm， r, =100mm，3 =100mm，设所有不平衡质量分布在同一回转平面内， 现用去重法来平衡，求所需挖去的平衡质量的大小和方位（设挖去质量处的半径rb =100 mm）。图10-2盘形回转件解：由方程（10-4）和式（10-5）可得m3r3 - m1r1 =15 100 -10 50 = 1000kg mm， m2r2 =15 100 = 1500 kg mmmbrb = . 1000215002 = 1802.77kg mm应增加的平衡质量为 叫二叫rb/rb =1802.77/100 =18.0277 kg由式（10-6）可得兀二tan'（1500/1
12、000） =56.31 （这个角度不在第二象限的，将计算过程 重新整理一下吧）挖去的质量应在 grb矢量的反方向，即第二象限中，方位角 入为123.69且rb =100 mm 处挖去18.0277 kg质量。例10-2:如图10-3所示为一钢制圆盘，盘厚 b=50mm，位置处有一直径=50mm的通孔，位置H处是一质量mt = 0.5kg（单位不用斜体字）的重块，rI = 100mm, rII = 200mm，为了使圆盘达到静平衡，需在圆盘上r=200mm处制一通孔。试求此孔的直径与位置。（钢的密 度=7.8g/cm3）解：根据题意，为了达到平衡需在圆盘上再制一孔，为计算方便，可将位置11处的不
13、平衡重块产生的离心惯性力的方向置为反方向（即30°方向），即相当于在圆盘上距离回转中心0200mm且方位角为30°处有一质量为0.5kg的孔，此孔所产生的离心惯性力与11处的不平衡重块产生的离心惯性力相当，如图10-3（ b）所示。根据静平衡条件可知 Fb - FI - F * =0FI = m -2r V 2rI =7.8 10“H252 502 100 10 = 0.0766 2N2 2_32Fii = m ； hi =0.5：; 200 100.1 N作出矢量图，如图10-3（c）所示。以回转中心为原点 O,创建直角坐标系 xOy,由a Fx=0及' Fy =
14、0可得 Fb =0.1089 2，兀=253由 Fb =0.1089 2 二 V 2rb =7.8 103r2 502 200 10“可得 r =21mm，即在玉=253处制一直径为42mm的通孔即可达到平衡。经过上述静平衡计算后转子在理论上已经达到静平衡，但由于制造和装配的不精确及材质不均匀等非设计因素的影响，实际制造出来后往往达不到原始的设计要求，仍会产生新的不平衡现象，此时只能通过静平衡试验来确定平衡质量的大小和方位。静平衡所用的设备称为静平衡架，如图10-4所示，图（a）为导轨式静平衡架，两导轨水平且互相平行，导轨的端口形状 常作成刀口状或圆弧状。 试验时，将转子用支承置于导轨上并让其
15、轻轻地自由滚动，由于任何物体在地球引力的作用下，其质心总是处于最低位置，故当转子质心不在回转轴上时，不能使转子在任意位置保持静止不动，到质心位于最低位置时才静止不动，这时在质心相反的方向任意向径处加一平衡质量（一般用橡皮泥），反复试验，并加减平衡质量，直至转子可在任意位置保持静止为止，即说明转子的质心已在回转轴上，即转子已达到静平衡。 根据橡皮泥的质量和位置，得到平衡质量的质径积。最后，根据转子的结构，在合适的位置是增加或减少相应的 平衡质量。（a）（ b）图10-4静平衡架导轨式静平衡架结构简单、可靠，平衡精度较高，但必须保证支承转子的导轨的端口在同一水平面内。当转子两端支承轴颈不相等时，就
16、无法在其上进行静平衡试验。此时，可用图10-4b所示的圆盘式静平衡架。平衡时将转子的轴颈支承在两对圆盘上，每个圆盘均可绕自身 轴线转动，而且一端的支承高度可以调整，以适应两端轴颈不相等的转子。圆盘式静平衡架的平衡试验方法与上述导轨式静平衡架相同, 大，故平衡精度不如导轨式的静平衡架高。其使用较为方便，但因轴颈与圆盘间的摩擦阻力较因需要反复试验，上述两种静平衡架工作效率较低，故当需要平衡试验的转子批量较大时可用单面平衡机，通过测量转子旋转时转子不平衡惯性力所引起的支承的振动或支承所受的动载荷来迅速地测出转子偏心质量的大小和方位。10.2.2刚性转子的动平衡当盘状转子的轴向尺寸较大时（即转子的轴向
17、宽度b与其直径D之比b/D> 0.2时），例如多缸发动机曲轴、 电机转子和机床主轴等，其质量就不能分布在同一回转面内，而往往是分布在若干个不同的回转平面内，此时，即便转子的质心在回转轴线上，由于各偏心质量所产生的离心惯性力不在同一回转平面，因此将形成惯性力偶使转子仍处于不平衡状态。这种不平衡状态只有当转子运转时才能显示出来，故称其为动不平衡。因此，对此类动不平衡转子进行平衡设计时，设计时应首先根据转子的结构，确定各回转平面内偏心质量的大小和方位，然后计算所需增加的平衡质量的数目、大小及方位，以使所设计的转子理论上达到动平衡。图10-5刚性转子的动平衡设计如图10-5所示，不平衡质量 m、
18、m2、m3分布在1、2、3三个不同回转平面内，向径分别为*、r2和r3，方位如图所示。当转子以角速度-回转时，三个不平衡质量产生离心惯性力F =口厲2斤由于不在同一回转面内，故为一空间力系。由理论力学可知，若要此三个离心惯性力达到平衡，可将各力分别分解为两个与其相平行的分力然后再求平衡。因此，首先选定两个垂直于转子轴线的平面 t'、t", T和T之间的距离为丨，平面1至平面T、T的距离分 别为1广h，则由理论力学可知，平面 1中的不平衡质量 m所产生的离心惯性力 F1可用分解,” ，In i n到平面T和T中的力F1和F1来代替。同理,F=Fi，Fi以上分析表明：原来的空间力
19、系中的三个不平衡离心惯性力完全可用平面t'中的F；、F2、F3 （将三者分开）及平面 T"中的F：、F2、F3"来代替，这样就可将空间力系的平衡问题转化为两个平面汇交力系的平衡问题，即刚性转子的动平衡设计问题可用静平衡设计的方法来解决了。对于平面T'，可在该平面内增加一个平衡质量mb，该平衡质量的向径为 rb，其产生的离心惯性力为Fb与R、F2、F3相平衡。由式（10-2）可知' F = Fb Fl F2 + F3 =0 （字母下标不应用斜体）将各力的大小代入可得 m> rb ml r1r2 m3 r3 =0（ 10-7）nnn'h&#
20、39;12' 13式中mnmi， m2m2， m3m31 1 1用静平衡设计的方法求解式（10-7）可得叫rb的大小和方位，沿 叫rb方向适当选定rb的HI大小，即可求得平面 T内应加的平衡质量 叫。同理，对于平面T"有H IIHHHRUb +011 +m2“ 十匚=0（ 10-8）"h''12''13式中mijm1,m2m2, m3m3同样采用静平衡设计的方法求解式(10-8)可得m；rbb的大小和方位，沿mbrb方向适当选,、IIHH疋rb的大小，即可求得平面T内应加的平衡质量m；。由以上分析可知，不平衡质量m、m2、m3可通过平
21、面T、T中的平衡质量 m；和m；进行平衡。故平面 T和T"称为平衡平面或校正平面，其垂直于转子的轴线。动平衡设计的几点说明：(1) 动平衡的条件：当转子转动时，转子上分布在不同平面内的各个质量所产生的空间离心惯性力系的合力及合力矩均为零，即= 0及二M = 0。(2) 对于动不平衡的转子，无论它有多少个偏心质量以及分布在多少个回转平面内，都只需要在选定的两个平衡平面 T'、T"内各增加或减少一个合适的平衡质量，即可使转子获得动平衡，故动平衡又称为双面平衡。在选择平衡平面T'和T"时，需考虑转子的实际结构和安装空间，以便于安装或去除平衡质量。此外，考
22、虑力矩平衡的效果，两平衡平面间的距离应适 当大一些，通常在实际中常选结构上允许加重或去重的端面，同时在条件允许的情况下，为了减小平衡质量，可将平衡质量的向径取得大一些。(3) 由于动平衡同时满足静平衡的条件，所以经过动平衡的转子一定静平衡；反之，经 过静平衡的转子不一定动平衡。例10-3 :如图10-6所示为一滚筒轴，已知其上的偏心质量，m二m2二讥=0.4kg,各偏心质量的轴向位置如图所示，且各偏心质量的向径均为 100mm，即片=r2 =r3二 Drm若选择滚筒轴两端面作为平衡平面，试对该滚筒轴进行动平衡设计。泸46040220僧图10-6滚筒轴的动平衡解：根据动平衡的方法，将各偏心质量产
23、生的惯性力向平面T和T"中分解，则由前文分.l1460-40m - m0.4 kg - 0.365 kg1 l 1460I2460 - 40-220 ,m2 - m20.4 kg 0.174 kgl460.I3460 -40 -220 -100m3 - m30.4 kg - 0.087 kgl460根据平衡条件mbrb+ mr, + m2r2 +讥G = 0及式（10-5）、（ 10-6）可得:析可知，平面T中:33 . . 2 . | 二 mricosm' miirsi.y. i imjb 二=19.422 亠12.19 $ kg mm = 22.93 kg mmfs兀=a
24、rcta n*. a * Imiri sinqi =i3Z miri cos。： 心= arCtan 抚9 =诙88平面T中:1"40g 二丄 g0.4 kg =0.035 kg1 I1460m2 二巴 m? = 220 0.4 kg =0.226 kgl460.I340 220 100 ,m3 = m30.4 kg =0.313 kgI460根据平衡条件mb»b+ BA +r2 +讥r3 = 0及式（10-5）、（ 10-6）可得:2J（14.06 2 +（32.20）2 kgZ m# sinQ'"i 土Z m；r cosq"i 二mm =35
25、.14 kg mm入二 arcta n=arctan 3220113.59114.06 丿若设rb =r； = 100mm，则平衡平面T和T中应增加的平衡质量分别为:一 mbrb 22.93 mbkgrb100” mbh" 35.14 .mb kgrb100刚性转子的动平衡是通过专用的动平衡机来实现的。=0.2293 kg=0.3514 kg动平衡机种类较多，如通用平衡机、 专用平衡机（如曲轴平衡机、涡轮机转子平衡机、传动轴平衡机等）等，其作用均为测定需加 于两个平衡基面中平衡质量的大小及方位。工业上用的较多的动平衡机都是根据振动原理来设计的。通常将转子置于支承上，当转子转动时，由于
26、不平衡而产生离心惯性力和惯性力偶矩， 这将导致支承产生强迫振动，利用测振传感器可将振动信号转化为电信旦处理和放大，最后可测定被测转子的不平衡质量的质径积的大小和方位。 子支架有软支承和硬支承两种，如图 簧悬挂起来，可沿振动方向往复摆动，通过电子线路加以 动平衡机上的支承转10-7所示，软支承转子（图 10-7a所示）支架由两片弹刚度较小，软支承动平衡机的转子工作频率-要远远号,超过转子支承系统的固有频率-般情况下，转子在' - 2 'n的情况下工作。硬支承转子（图10-7b所示）刚度较大，硬支承动平衡机的转子工作频率要远远小于转子支承系统的固有频率-'n，一般情况下，转
27、子在乞0.3 n的情况下工作。转子a)b)图10-7动平衡机支承转子支架如图10-8所示为一带微机系统的硬支承动平衡机的工作原理示意图，它通过支承处的传感器来拾取平衡机主轴箱端部小发电机的转速信号和相位基准信号作为振动信号，经预处理电路进行滤波和放大，并将振动信号调整到A/D转换卡所要求的输入量的范围内，再输入计算机进行数据采集和解算，给出两平衡平面上需加平衡质量的大小和相位。发电机将拾取的转速信号和相位基准信号处理成为方波或脉冲信号，利用方波的上升沿或正脉冲通过计算机的PIO口触发中断，从而使计算机开始和终止计数，以测量转子的回转周期。图10-8带微机系统的硬支承动平衡机的工作原理图需要强调
28、的是，当转子尺寸较大时，如几十吨重的大型发电机转子，一般无法在动平衡机上进行平衡，有些回转体的工作环境为高热或高电磁场等，由于热变形或磁滞伸缩变形等，使在动平衡机上已达到的平衡遭到破坏，又由于运输或维修等原因，需要对平衡好的回转体重新进行组装，仍会发生微小变形而造成不平衡。在此情况下，一般可进行现场平衡。所谓现场平衡，即通过直接测量机器中转子支架的振动来确定转子不平衡质量的大小和方位，进而确定应加平衡质量的大小和方位，使转子得以平衡。值得一提的是，绝对的平衡是很难做到的，即经过平衡实验的转子，不可避免的还会有一些残存的不平衡量， 若要减小这些不平衡量，则需要更精密的平衡实验装置，更先进的测试手
29、段和更高的平衡技术，所以随便提高平衡精度是不合理的，实际上无需做到转子的完全平衡， 只要满足其实际工作要求即可。因此根据工作要求，对转子规定适当的许用不平衡量是很有必要的。转子的许用不衡量有质径积表示法和偏心距表示法。转子的许用不平衡质径积以mr表示，它是与转子质量有关的一个相对量。常用于具体给定的转子，它比较直观又便于平衡操作，但是不能反映转子和平衡机的平衡精度。转子的质心至回转轴线的许用偏心距以e表示，它是与转子质量无关的绝对量，用于衡量转子平衡的优劣或衡量平衡的检测精度时，比较方便。 目前我国尚未规定平衡精度国家标准，表10-1为国际标准化组织规定的各种典型转子的平衡精度与对应的许用不平
30、衡量，可供参考使用。表10-1呢？表10-1中的转子不平衡量以平衡精度A的形式给出，其值可由下式求得：A =e - /1000 mm/ s( 10-9)对于静不平衡的转子，许用不平衡量 e在根据表格选定 A值后可由上式求得。对于动不平衡转 子，先由表中定出e，再求得许用不平衡质径积 mr = me，然后将其分配到两个平衡基面上。分配时，以图10-9所示转子为例，质心位于S点，转子质量为 m,两平衡基面的许用不平衡质径积可按下式求得：mrI =mrb/(a b)(10-10)mrh =mra/(a b)图10-10许用质径积分配到两个校正平面103挠性转子的动平衡简介在很多高速与大型回转机械中，
31、当转子的工作转速高于一阶临界转速时，其旋转轴线挠曲变形不可忽略，此时转子不能再视为刚体，而成为挠性体，即挠性转子。在运转过程中挠性转子会 产生较大的弯曲变形， 即动挠度，且弯曲变形量随转速变化，由此产生的离心惯性力也随之明显增大，所以挠性转子平衡问题的难度将会大大增加。与刚性转子的平衡相比，挠性转子的动平衡具有以下两个特点：1） 转子的不平衡质量对支承引起的动压力和转子的动挠度都随转子的工作转速而变化，因 此在某一转速下平衡好的转子，不能保证在其它转速下也是平衡的。2） 减小或消除支承的动压力不一定能减小转子的弯曲变形的程度，而明显的弯曲变形将对 转子的结构、强度和工作性能产生有害的影响。在挠
32、性转子的平衡原理是建立在弹性轴（梁）横向振动理论的基础上，挠性转子的动平衡 方法有很多种，常见的是振型平衡法。其动平衡原理为：挠性转子在任意转速下回转时所呈现的 动挠度曲线，是无穷多阶振型组成的空间曲线，其前三阶振型是主要成分，振幅较大，其他高阶 振型成分振幅很小，可以忽略不计。前三阶振型又都是由同阶不平衡谐分量激起的，可对转子进行逐阶平衡。即先将转子启动到第一临界转速附近，测量支承的振动或转子的动挠度，对第一阶不平衡量谐分量进行平衡。然后再将转子依次启动到第二、第三临界转速附近，分别对第二、第 三阶不平衡量谐分量进行平衡。因此，对于挠性转子，不能用刚性转子的平衡方法，需要对其进 行专门研究，
33、需要时可参考专门文献。思考与练习10-1何谓转子的不平衡？造成不平衡的原因可能有哪些？10-2何谓刚性转子和挠性转子？刚性转子的动平衡与挠性转子的动平衡有何区分？10-3刚性转子的动平衡和静平衡有何区分？各自平衡的条件是什么？10-4刚性转子经过静平衡是否也一定达到动平衡？反之，刚性转子经过动平衡是否一定达到静平衡？为何刚性转子的静平衡称为单面平衡，刚性转子的动平衡称为双面平衡？10-5图10-11所示的盘状转子上有两个不平衡质量：m1=1.5kg, m2 =0.8kg，r140mm2 =180mm，相位如图。现用去重法来平衡，求所需挖去的质量的大小和相位（设挖去质量 处的半径 r=140mm r =140 mm ）。图10-11盘状转子静平衡6、如图10-12所示为一凸轮轴，三个凸轮相互错开120 °其质量均为5 kg，质心到转动中心r I = r n = 30 mm，求所加的距离均为r = 15 mm，若选择I、n两个平面为动平衡校正平面, 平衡质量的大小与相位。图10-12凸轮轴的动平衡