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1、高一数学必修4向量教案2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示 教学目标: 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法:本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.
2、学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路: (一) 一、情景设置: 如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问:猫能否追到老鼠,(画图) 结论:猫的速度再快也没用，因为方向错了. C 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上 A D B 都是有方向、有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向,哪些量只有大小没有方向, 二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。 (二)(教材P74面的四个图制作成幻灯片)请同学阅读课本后回答:(7个问题一次出现) 1、数量与向量有何区别,
3、(数量没有方向而向量有方向) 2、如何表示向量, 3、有向线段和线段有何区别和联系,分别可以表示向量的什么, 4、长度为零的向量叫什么向量,长度为1的向量叫什么向量, 5、满足什么条件的两个向量是相等向量,单位向量是相等向量吗, 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系, 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量, 这时各向量的终点之间有什么关系, (三)探究学习 1、数量与向量的区别: B a 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小; (终点) 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. A(起点) 2.向量的表示方法: ?用有向线段表
4、示; ?用字母,、,(黑体，印刷用)等表示; ;?向量的大小长度称为向量的模，记作|. ?用有向线段的起点与终点字母:ABABAB3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ?长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ?长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义
5、都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ?方向相同或相反的非零向量叫平行向量;?我们规定0与任一向量平行. 说明:(1)综合?、?才是平行向量的完整定义;(2)向量、平行，记作?. ,;,;(四)理解和巩固: 例1 书本75页例1. 例2判断: (1)平行向量是否一定方向相同,(不一定) (2)与任意向量都平行的向量是什么向量,(零向量) (3)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量,(平行向量) 课堂练习: 书本77页练习1、2、3题 三、小结 : 1、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、平面向量的概念和向量的几何表示; 3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。 四、课
6、后作业: 学案P49面的学法引导，及P44面的单元检测卷。 2.1.3 相等向量与共线向量 教学目标: 4. 掌握相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 5. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 6. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点:理解并掌握相等向量、共线向量的概念， 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教学思路: 一、情景设置: (一)、复习 1、数量与向量有何区别,(数量没有方向而向量有方向) 2、如何表示向量, 3、有向线段和线段有何区别和联系,分别可以表
7、示向量的什么, 4、长度为零的向量叫什么向量,长度为1的向量叫什么向量, 5、满足什么条件的两个向量是相等向量,单位向量是相等向量吗, 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系, 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量, 这时各向量的终点之间有什么关系, (二)、新课学习 1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系, 2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗,这组向量有什么关系, 三、探究学习 1、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 与相等，记作,;(2)零向量与零向量相等; 说明:(1)向量,(3)任意两个相等的
8、非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. (2、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). (说明:(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 四、理解和巩固: OAOBOC、相等的向量. 例1(如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA变式一:与向量长度相等的向量有多少个,(11个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量,(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些,() CB,DO,FE例2
9、判断: (1)不相等的向量是否一定不平行,(不一定) (2)与零向量相等的向量必定是什么向量,(零向量) (3)两个非零向量相等的当且仅当什么,(长度相等且方向相同) (4)共线向量一定在同一直线上吗,(不一定) 例3下列命题正确的是( ) A.,与,共线，,与;共线，则,与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量,与,不共线，则,与,都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个
10、顶点，所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以,不正确;对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若,与,不都是非零向量，即,与,至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有,与,共线，不符合已知条件，所以有,与,都是非零向量，所以应选C. 课堂练习: 1(判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 CD?向量AB与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上; ?单位向量都相等; ?任一向量与它的相反向量不相等; DCAB?四边形ABCD是平行四边形当且仅当, ?一个向量方向不确定当且仅当模为0; ?共线的向量，若起点不同，则终点一
11、定不同. AC、解:?不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB在同一直线上. ?不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ?不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ?、?正确.?不正确.ACBC如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2(书本77页练习4题 三、小结 : 2、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、共线向量与平行向量关系、相等向量。 四、课后作业: 习案作业十八。 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标: 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义; 2
12、、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 教学思路: 一、设置情景: 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置: AB，BC,AC(1
13、)某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和: AB，BC,AC(2)若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和: AB，BC,AC (3)某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和:AB，BC,ACBC(4)船速为，水速为，则两速度和: ABC A B C C C A B 二、探索研究: A B A B ,、向量的加法:求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ,、三角形法则(“首尾相接，首尾连”) BCAC如图，已知向量a、,.在平面内任取一点，作,a，,，则向量叫做a与,ABA,AB，BC,AC的和，记作a，,，即 a，,， 规定: a + 0-= 0 + a
14、a a a C b b a+b ,a+b , A , ，a , B 探究:(1)两向量的和与两个数的和有什么关系, 两向量的和仍是一个向量; ababababababa(2)当向量与不共线时， |+|+|;什么时候|+|=|+|，什么时候|+|=|b,|， abababab当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|，则+的方向与相同，且|+|=|-|; ababbaba若|0时与方向相同, 0，(a),b =|a|b|cos,， (a,b) =|a|b|cos,，a,(b) =|a|b|cos,， 0，(a),b =|a|b|cos(,) = ,|a|b|(,cos,) =|a|b|cos,，
15、(a,b) =|a|b|cos,， 若,a,(b) =|a|b|cos(,) = ,|a|b|(,cos,) =|a|b|cos,. ,3(分配律:(a + b),c = a,c + b,c OAOCOB 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ?a + b (即)在c方向上的投影等AB于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos, = |a| cos, + |b| cos, 12?| c | |a + b| cos, =|c| |a| cos, + |c| |b| cos,， ?c,(a + b) = c,a + c,b 即:(a + b),c = a,c + b,c 12
16、说明:(1)一般地，(,?,)?,(,?) (2),?,?，?0, ,(3)有如下常用性质:,， (,，,)(，,),?，,?,，,?，,?, 三、讲解范例: ,例1(证明:(,，,),，,?,，, ,a,b,542b例2(已知|a|=12， |b|=9，求与的夹角。a o例3(已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60求:(1)(a+2b)?(a-3b). (2)|a+b|与|a-b|. |a|,a,a ( 利用 ) 例4(已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 四、课堂练习: 1(P106面1、2、3题。 2(下列叙述不正确的是
17、( ) A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律 C. 向量的数量积满足结合律 D. a?b是一个实数 333(|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为( ) 44,A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直 34(已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角. 五、小结: 1(平面向量的数量积及其几何意义; 2(平面向量数量积的重要性质及运算律; 3(向量垂直的条件. 六、作业:习案作业二十三。 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规
18、律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: 1(平面向量数量积(内积)的定义: 2(两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1: e,a = a,e =|a|cos,; 2: a,b , a,b = 0 2|a|,a,a3: 当a与b同向时，a,b = |a|b|;当a与b反向时，a,b = ,|a|b|. 特别的a,a = |a|或 a,b4:cos, = ; 5:|a,b| ? |a|b| |a|b|3
19、(练习: 2(1)已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是( ) A.60? B.30? C.135? D.,? ,(2)已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为( ) 33A.2 B.2 C.6 D.12 二、讲解新课: aa,(x,y)b,(x,y)a,b探究:已知两个非零向量，怎样用和b的坐标表示. 1122,1、平面两向量数量积的坐标表示 ,xx，yya,b两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 12122. 平面内两点间的距离公式 22222|a|,x，ya,(x,y)(1)设，则或. |a|,x，ya(x,y)(x,
20、y)(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、， 112222那么(平面内两点间的距离公式) |a|,(x,x)，(y,y)12123( 向量垂直的判定 ，则 设a,(x,y)b,(x,y)a,bxx，yy,0,112212124( 两向量夹角的余弦() 0,xx，yya,b1212cos, = ,2222|a|,|b|x，yx，y1122二、讲解范例: 例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(,2， 5)，试判断?ABC的形状，并给出证明. o例2 设a = (5， ,7)，b = (,6， ,4)，求a?b及a、b间的夹角(精确到1) 分析:为求a与b夹角，需先求a?b及
21、,a,?,b,，再结合夹角的范围确定其值. 333例3 已知a,(,，)，b,(，,，,)，则a与b的夹角是多少? 分析:为求a与b夹角，需先求a?b及,a,?,b,，再结合夹角的范围确定其值. 333解:由a,(,，)，b,(，,，,) 3332有a?b,，,，(,),，,a,，,b,( a,b2,记a与b的夹角为，则;, 又?,?，?, a,b24评述:已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 三、课堂练习:1、P107面1、2、3题 1 2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= . 2a,b,xx，yy四、小结: 1、1212 22 2、
22、平面内两点间的距离公式 |a|,(x,x)，(y,y)12123、向量垂直的判定: a,(x,y)b,(x,y)a,bxx，yy,0设，则 ,11221212五、课后作业:习案作业二十四。 思考: AB1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角?OAB，使，B = 90:，求点B和向量的坐标. OBAB解:设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x,5， y,2) 22OB, ?x(x,5) + y(y,2) = 0即:x + y ,5x , 2y = 0 ?AB2222OB又?| = | ?x + y = (x,5) + (y,2)即:10x + 4y = 29 AB,73,
23、22x,x,12,x，y,5x,2y,0,22由 ,或,3710x，4y,29,y,y,12,22,73377337(,)(,)?B点坐标(,)或(,);=或 AB22222222AC2 在?ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且?ABC的一个内角为直角，求k值. AB3AC解:当A = 90:时，,= 0，?21 +3k = 0 ?k = ,AB2BCBCAC当B = 90:时，,= 0，=,= (1,2， k,3) = (,1， k,3) ABAB11?2(,1) +3(k,3) = 0 ?k = 33,13ACBC当C = 90:时，,= 0，?,1 + k(k,3) = 0 ?k = 22.5.1平面几何中的向量方法 教学目的: 1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”; 2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可