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1、矩阵分析矩阵分析参考书矩阵分析引论罗家洪编参考书矩阵分析引论罗家洪编矩阵论程云鹏编矩阵论程云鹏编教材：矩阵分析史荣昌等编教材：矩阵分析史荣昌等编 矩阵理论是一门最有实用价值的数学矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。理论。在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和发展。发展。本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。本课程

2、只介绍矩阵理论中最经典的一部分。它是它是线性代数线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课程的继续和深化。为了学好这门课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特别别向量、矩阵、二次型向量、矩阵、二次型的相关内容。的相关内容。第一节第一节 线性空间线性空间一：一：线性空间的定义与例子线性空间的定义与例子定义定义 设设 是一个是一个非空的集合非空的集合，是一是一个数域个数域，在集和在集和 中定义两种中定义两种代数运算代数运算,一种是加法运算一种是加法运算,用用 来表示来表示;另一种是数乘运算另一种是数乘运算,用用 来表示来表示,并且并且这两种运算满足下列这两种运

3、算满足下列八八条运算律：条运算律：第一章第一章 线性空间和线性映射线性空间和线性映射实数域R复数域C运算的结果是V中的元素（1）加法交换律加法交换律（2）加法结合律加法结合律 （3）零元素零元素 在在 中存在一个元素中存在一个元素 ，使得对，使得对于任意的于任意的 都有都有（4）负元素负元素 对于对于 中的任意元素中的任意元素 都存都存在一个元素在一个元素 使得使得（5）（6）（7）（8）称这样的称这样的 为数域为数域 上的上的线性空间线性空间。例例 1 全体实函数集合全体实函数集合 构成实数域构成实数域 上的上的线性空间。线性空间。例例 2 复数域复数域 上的全体上的全体 型矩阵构成型矩阵构

4、成的集合的集合 为为 上的线性空间。上的线性空间。按函数的加法和数乘函数按矩阵的加法和数乘矩阵V中的元素称为向量 例例 3 实数域实数域 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 的多项的多项式集合式集合 构成实数域构成实数域 上的线性空间上的线性空间例例 4 全体正的实数全体正的实数 在下面的加法与数乘的在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：定义下也构成线性空间：例例 5 表示实数域表示实数域 上的全体无限序列组成的上的全体无限序列组成的的集合。即的集合。即在在 中定义加法与数乘：中定义加法与数乘：则则 为实数域为实数域 上的一个线性空间。上的一个线性空间。例例 6 在在 中满足中满足C

5、auchy条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合也构成子集合也构成 上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是：使得对于使得对于 都有都有例例7 在在 中满足中满足Hilbert条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合子集合不不构成构成 上的线性空间。上的线性空间。Hilbert条件是：条件是：级数级数 收敛收敛例例8 在在 中有界的无限序列组成的子集也构成中有界的无限序列组成的子集也构成 上的线性空间。一个无限序列上的线性空间。一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数称为有界的，如果存在一个实数 ，使得使得定理1:线性空间有唯一的零元素线性空间有唯一的零元素,任一

6、元素有唯一的任一元素有唯一的负元素负元素.定义定义线性组合线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示二：二：线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质定义定义2 2则称则称向量组向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示定理定理 4 4：定义定义3 3最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组最大（线性）无关向量组最大（线性）无关向量组秩秩基本性质：基本性

7、质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关）整体无关 部分无关；部分相关部分无关；部分相关 整体相关；整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；不唯一；（5）如果向量组（）如果向量组（I）可以由向量组（可以由向量组（II）线性表出，线性表出，那么向量组（那么向量组（I）的秩的秩 向量组（向量

8、组（II）的秩；的秩；（6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组也是线性无关的。也是线性无关的。例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组组互不相同的实数。组互不相同的实数。是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例 4 实数域实数域 上的线性空间空间上的线性空间空间 中，函数组中，函数组是线性相关的函

9、数组。是线性相关的函数组。函数组函数组是线性相关是线性相关定义定义 设设 为数域为数域 上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 中存在中存在 个线性无关的向量个线性无关的向量 使得使得 中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可以由 线性表出线性表出第二节线性空间的基底，维数与坐标变换第二节线性空间的基底，维数与坐标变换为向量为向量 在基底在基底 下的下的坐标坐标。此时我们。此时我们称称 为一个为一个 维线性空间，记为维线性空间，记为 向量的坐标是唯一的向量的相关性与坐标的相关性一致例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中向量组中向量组与向量组与向量组 都是都是 的基

10、的基。是是3维线性空间。维线性空间。要验证：向量组无关任一向量可以由它们表示 例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。是是4维线性空间。维线性空间。与与向量组向量组都是都是 的基底。的基底。的维数为的维数为 例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组注意：注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不不唯一唯一，但是维数是，但是维数是唯一唯一确定的。利用维数的定义线性确定的。利用维数的定义线性空间可以分为空间可以分为有限维线性空间有限维线性空间和和无限维线性

11、空间无限维线性空间。目。目前，我们主要讨论前，我们主要讨论有限维的线性空间有限维的线性空间。例例 4 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐标。解解：设向量：设向量 在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为 解得解得于是可得于是可得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为设设 （旧的旧的）与）与 （新的新的）是是 维线性空间维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为的两组基底，它们之间的关系为 由此可以看出：由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相一个向量在不同基底下的

12、坐标是不相同的。同的。基变换与坐标变换基变换与坐标变换将上式将上式矩阵化矩阵化可以得到下面的关系式：可以得到下面的关系式：称称 阶方阵阶方阵记为是是由由旧的基底到新的基底的旧的基底到新的基底的过渡矩阵过渡矩阵，那么上式可，那么上式可以写成以写成提示只有零解定理定理：过渡矩阵：过渡矩阵 是可逆的。是可逆的。任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有：，那么我们有：例例 1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组称上式为称上式为坐标变换公式坐标变换公式。与与向量组向量组为其为其两组基，求从基两组基，求从基 到基到基 的的过渡矩阵，过渡矩阵，并求向

13、量并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解解：容易计算出下面的矩阵表达式：容易计算出下面的矩阵表达式向量向量 第一组基下的坐标为第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为例例 1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它，它必有两个必有两个平凡的子空间平凡的子空间，即由单个，即由单个零零向量构成向量构成的子空间的子空间定义定义 设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间，为为 的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有第三节第三

14、节线性空间的子空间线性空间的子空间子空间也是线性空间以及线性空间以及线性空间 本身。本身。那么我们称那么我们称 为为 的一个的一个子空间子空间。例例 2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称的一个子空间，我们称其为其为齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间。例例 3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合任一子空间都含零向量当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系基底即为其基础解系；解空

15、间的维数即为基础解系所含向量的个数。所含向量的个数。解空间称为矩阵解空间称为矩阵A的核或的核或A的零空的零空间间,记为记为N(A).构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称生成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。例例 4 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中全体中全体上三角上三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体下三角下三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体对称对称矩阵集合，全体矩阵集合，全体反对称反对称矩阵集合分别都构矩阵集合分别都构成成 的子空间，的子空间，问题问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？：这几个子空间的基

16、底与维数分别时什么？为向量组为向量组 的秩。的秩。的维数即的维数即的极大线性无关组的极大线性无关组.的基底即为向量组的基底即为向量组N(A)为基础解系生成的空间子空间的交与和子空间的交与和和子空间和子空间定理：设则：子空间的直和、补子空间还可以讨论多个子空间的交、和、直和第四节：线性映射1.1.定义和例子：定义和例子：设F是一个数域，V和W是F上向量空间。定义定义1 1 设是V到W的一个映射，如果下列条件被满足，就称是V到W的一个线性映射：（1）对于任意=（2）对于任意1.对于R 的每一向量R是R 到R 的一个映射，可以证明，是一个线性映射。定义线性映射的简单性质线性映射的简单性质见书的例子线

17、性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示称A为线性映射在相应基下的矩阵表示。例：对于的每一向量坐标之间的关系=A下证唯一性：若还有在基给定以后，线性变换与矩阵是一一对应的还可以定义两个线性变换的和与积等等，它们分别对应于矩阵的和与积第五节、线性映射的值域、核只要证线性无关即可，设第六节:线性变换的矩阵与线性变换的运算A称为线性变换的矩阵变为略任何两个n维空间都可以建立同构，两个空间同构的充要条件是它们的维数相同。同构保持所有线性运算性质不变。注：值域与核是不变子空间。第九节:线性变换的不变子空间注：线性变换的不变子空间的和与交仍是不变子空间。注：设 则W是不变子空间的充要条件是 。现在设现在设 是数

18、域是数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，中取定一个基中取定一个基 ，设线性变换，设线性变换 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 ，向量，向量 在这组基下的坐在这组基下的坐标是标是 ，。那么我们有。那么我们有 定义定义 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个线的一个线性变换，如果在数域性变换，如果在数域 中可找到数中可找到数 ，中都中都存在一个非零向量存在一个非零向量 ，使得，使得 那么称那么称 为为 的一个的一个特征值特征值，而，而 称为称为 的的属于特征值属于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。第八节第八节:矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量矩阵（或线性变换）的特征值

19、与特征向量 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量 是是 的的属于属于 的特征向量的特征向量 由此可得定理：由此可得定理：因此，只要将因此，只要将 的全部特征值求出来，它们的全部特征值求出来，它们就是线性变换就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 的的属于属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是标的向量就是 的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。例例 1 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间，是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换，在在 的一个基

20、的一个基 下的下的矩阵是矩阵是求求 的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解：解：的特征多项式为的特征多项式为所以所以 的特征值是的特征值是 （二重）与（二重）与 。对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：于是于是 的属于的属于 的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 为数域为数域 中不全为零的数对。中不全为零的数对。得到一个基础解系：得到一个基础解系：对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征

21、向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 的属于的属于 的全部特征向量的全部特征向量这里这里 为数域为数域 中任意非零数。中任意非零数。矩阵的相似与相似对角化矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征特征值，值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱同的迹，有相同的谱矩阵的特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵阶矩阵 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量的全部特征向量再添上零向量，可以组成再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之

22、为矩的一个子空间，称之为矩阵阵 的属于特征值的属于特征值 的的特征子空间特征子空间，记为，记为 ，不难，不难看出看出 正是特征方程组正是特征方程组 的解空间。的解空间。(特征子空间是不变子空间特征子空间是不变子空间)（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。（3）设设 是是 的的 个互不同的特征个互不同的特征值，值，的几何重数为的几何重数为 ，是对是对应于应于 的的 个线性无关的特征向量，则的所个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量有这些特征向量仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。（4）一个特征向量不能属于不同的特征值）一个特征向量不能属于不同的特征

23、值。（5）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。证明：设是的特征值，几何重数为。对应的特征子证明：设是的特征值，几何重数为。对应的特征子空间的基为空间的基为扩充成扩充成V的基的基即 的代数重数至少是 .定义定义 数域数域 上的上的 维线性空间维线性空间 的一个线的一个线性变换性变换 称为称为可以对角化的可以对角化的，如果，如果 中存在一个中存在一个基底，使得基底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。在这个基底下的矩阵为对角矩阵。定理定理：可以对角化可以对角化 可以对角化。可以对角化。定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的

24、充分必要条件是 我们在我们在 中取定一个基底中取定一个基底 ，设，设线性变换线性变换 在这个基下的矩阵为在这个基下的矩阵为 ，那么可以得，那么可以得到下面的定理到下面的定理矩阵（线性变换）的相似对角化矩阵（线性变换）的相似对角化定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。解解：先求出先求出 的特征值的特征值是否可以对角化？是否可以对角化？例例 1 判断矩阵判断矩阵 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。由于由于 是单的特征值，它一定对应一个线性是单的特征值，它一定对应一个线性

25、无关的特征向量。下面我们考虑无关的特征向量。下面我们考虑于是的特征值为于是的特征值为 （二重）（二重）例例 2 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间，是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换，在在 的一个基的一个基 下下的矩阵是的矩阵是于是于是 从而从而不可以相似对角化不可以相似对角化。解：解：根据前面例题的讨论可知根据前面例题的讨论可知 有有3个线性无关个线性无关的特征向量的特征向量:因此因此 可以对角化，可以对角化，在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是判断是判断是 否可以对角化？否可以对角化？由基由基 到基到基 的过渡矩阵是的过渡矩阵是于是有于是有例例 3 数域数域 上的上的 维线性空间维线性空间 的任一幂等的任一幂等变换一定可以对角化。变换一定可以对角化。同时对角化问题：