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1、第六章 函数逼近,用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最 基本的概念和方法之一。这种近似代替又称为逼近，函数f (x)称为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差,称为逼近的误差或余项。,如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题,函数逼近问题的一般提法：,对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。,最常用的度量标准为：一致逼近、 平方逼近,(一) 一致逼近,以函数f (x)和p (x)的
2、最大误差,作为度量误差 f (x) p (x) 的“大小”的标准,在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近,对于任意给定的一个小正数 0，如果存在函数p (x)，使不等式,成立，则称该函数p (x)在区间a, b上一致逼近或均匀逼近于函数f (x)。,(二) 平方逼近：,采用,作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。,1 正交多项式,一、正交函数系的概念,考虑函数系,1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，connx，sinnx，,此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间- , 上的积分都等于0 ！,我们称这个函数中任何两个函数在- , 上是正交 的，并且称这
3、个函数系为一个正交函数系。,若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，,使之成为：,那么这个函数系在- , 上不仅保持正交的性质， 而且还是标准化的(规范的) ，即每个函数的平方在区 - , 上的积分等于1。,1权函数,定义1 设 (x)定义在有限或无限区间a, b上，如果具有下列性质：,(1) (x) 0，对任意x a, b，,(2) 积分 存在，(n = 0, 1, 2, )，,(3) 对非负的连续函数g (x) 若,则在(a, b)上g (x) 0,称 (x)为a, b上的权函数,2内积,定义2 设f (x)，g (x) C a, b， (x)是a, b上的权函数，,则称,为 f
4、(x) 与 g (x)在 a, b上以 (x)为权函数的内积。,内积的性质：,(1) (f, f )0，且 (f, f )=0 f = 0；,(2) (f, g) = (g, f )；,(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)；,(4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。,3正交,定义3 设 f (x)，g(x) C a, b 若,则称f (x)与g (x)在a, b上带权 (x)正交。,定义4 设在a, b上给定函数系k(x) ，若满足条件,则称函数系k (x)是a, b上带权 (x)的正交函数系。,若定义 4中的函数系为多项式函数系，则
5、称为以 (x) 为权的在a, b上的正交多项式系。并称pn(x)是a, b上 带权 (x)的n次正交多项式。,特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。,二、常用的正交多项式,1切比雪夫()多项式,定义 5 称多项式,为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。,切比雪夫多项式的图形：,T0(x), T1(x), T2(x), T3(x),切比雪夫多项式的性质：,(1) 正交性：,由 Tn (x)所组成的序列 Tn (x)是在区间-1, 1上带权,的正交多项式序列。且,(2) 递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：,(3) 奇偶性：,切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为
6、奇函数；n为偶数时为偶函数。,(4) Tn (x)在区间-1, 1上有n 个不同的零点,(5) Tn (x) 在-1, 1上有n + 1个不同的极值点,使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。,(6) 切比雪夫多项式,Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, )。,定理 1 在-1x 1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn (x)中,与零的偏差最小，且其偏差为,即，对于任何 ， 有,2勒让德(Legendre)多项式,定义 6 多项式,称为n次勒让德多项式。,勒让德多项式的图形：,P0(x), P1(x), P2(x), P3(x),(1) 正交性,勒让德多项
7、式序列pn(x)是在-1, 1上带权 (x) = 1 的正交多项式序列。,勒让德多项式的性质：,(2) 递推关系,相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：,(3) 奇偶性：,当n为偶数时，pn (x)为偶函数；,当n为奇数时，pn (x)为奇函数。,(4) pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全 部在区间-1, 1内部。,3其它常用的正交多项式,(1) 第二类切比雪夫多项式,定义 7 称,为第二类切比雪夫多项式。, un(x)是在区间-1, 1上带权函数,的正交多项式序列。, 相邻的三项具有递推关系式：,(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式,定义 8 称多项式,为拉盖尔多项式。,
8、Ln(x)是在区间0, +上带权 (x) = e-x 的正交多项式序列。, 相邻的三项具有递推关系式：,(3) 埃尔米特(Hermite)多项式,定义 9 称多项式,为埃尔米特多项式。,的正交多项式序列。, Hn(x)是在区间(-, +)上带权函数, 相邻的三项具有递推关系式：,2 最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,定义 10 设函数f (x)是区间a, b上的连续函数，对于任意给定的 0，如果存在多项式p (x)，使不等式,成立，则称多项式p (x)在区间a, b上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x)。,定理2：(维尔斯特拉斯定理）,若f (x)是区间a, b上的连续函数，则对于任意
9、0， 总存在多项式p (x)，使对一切a x b有,推论1、若f (x)是区间a, b上的连续函数，则f (x) 在H的最佳一致逼近多项式就是f (x)在区间a, b上的某个n次插值多项式 pn (x)，,推论2、若f (x)是区间a, b上有n +1阶导数，且f(n +1)(x) 在区间a, b上恒正或恒负，那么区间a, b的端点a, b属于f (x) pn (x) 的交错点组。,例.求函数f(x)=ex在区间0，1上的线性最佳一致逼近多项式。,求函数f(x)=x2在0, 1上的线性最佳一致逼近多项式。,三、契比雪夫多项式的应用,因此，s4(x)=2.532132+1.130318x+0.271495T2(x)+0.044337T3(x)+0.005474T4(x),3、逼近多项式降阶,