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1、1,离散数学(Discrete Mathematics),2,第二章 谓词逻辑,2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4 变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式 2.7谓词演算的推理理论,3,2.4变元的约束,在上一节谓词公式的翻译中，对命题符号化时可以发现，带量词的命题通常符号化为量化命题函数。这类公式有一个共同的特点：所有变元前都有对应的量词对其约束。 下面我们讨论变元的约束及量化命题函数与命题的关系。,4,2.4变元的约束,1.指导变元与辖域 给定一个谓词公式,其中一部分公式形式为 (x)P(x)或(x)P(x) 例如:(x)(P(x
2、) R(x)Q(x),其中x为指导变元（P(x) 和R(x)为辖域，而Q(x）不是辖域 2. 约束变元、自由变元 在量词辖域中x的所有出现，都称为x在谓词公式中的约束出现，相应的x称为约束变元; 在谓词公式中，除约束变元以外出现的变元称为是自由变元。,一、基本概念,，后面跟的x叫做量词的指导变元或作用变元,P(x)称为相应量 词的作用域或辖域,注意辖域（作用域）和论域概念的区别：论域是客体变量的取值范围，作用域是量词所辐射的谓词公式的范围,5,说明: (1)n元谓词公式A(x1，x2.xn) 中有n个自由变元,若对其中的k(kn)个进行约束,则构成了n-k元谓词;如果一个公式中没有自由变元出现
3、,则该公式就变成了一个命题 (2)一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关紧要的,如(x)M(x)与(y)M(y)意义相同.,2.4变元的约束,例：说明以下各式的辖域与变元约束情况 1）(x)P(x) Q(x) 2） (x)(P(x，y) Q(x) R(x,y),一、基本概念,x自由变元,x约束变元,x的辖域,x的辖域,X为约束变元,x，y自由变元,2.4变元的约束,例：说明以下各式的辖域与变元约束情况 3）(x)(P(x)Q(x,y)(x)R(x) 说明： 1）、2）中，同名变元x，既是约束变元又是自由变元 3）中，同名变元x属于不同的辖域，受不同量词的约束 因此，为了不引起概念上的混乱，可
4、以对约束变元进行换名，使得一个变元在一个公式中呈一种形式出现,一、基本概念,X是约束变元，y是自由变元,(x)的辖域,( x)的辖域 其中x不受(x)的约束,2.4变元的约束,8,对约束变元进行换名,使得一个变元在一个公式中只呈一 种形式出现 (1)约束变元的改名范围是量词中的指导变元以及该量词作用域中所出现的该变元,公式的其余部分不变 (2)换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元名称,2.4变元的约束,二、约束变元的换名规则,9,例：对上页例中需换名的公式换名 1）(x)P(x) Q(x) (y)P(y) Q(x) 2） (x)(P(x，y) Q(x) R(x,y) (z)(P(z，y)
5、Q(z) R(x,y) 3）(x)(P(x)Q(x,y)(x)R(x) (x)(P(x)Q(x,y)(z)R(z),2.4变元的约束,10,练习： x( P(x)R(x,y) L(x,y) 换名为t( P(t)R(t,y) L(x,y) x( H(x,y)y(W(y) L(x,y,z) 换名为x( H(x,y)s(W(s) L(x,s,z),2.4变元的约束,11,对公式中自由变元的更改称为代入 (1)代入时需要对公式中出现该自由变元的每一处进行; (2)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同. 例如对例1中的公式x( P(x)R(x,y) L(x,y) 自由变元y用z来代入,得 x(
6、 P(x)R(x,y) L(z,y),三、自由变元的换名规则,2.4变元的约束,12,例：对上页例中需代入的公式进行代入 1）(x)P(x) Q(x) (y)P(x) Q(y) 2） (x)(P(x，y) Q(x) R(x,y) (x)(P(x，y) Q(x) R(z,y) 3）(x)(P(x)Q(x,y)(x)R(x) 不需要代入，只能使用换名规则,2.4变元的约束,13,对量词辖域中的约束变元，当论域中的元素是有限时（设为a1，a2，an），客体变元的所有可能的取代是可枚举的。即量化命题函数与命题的关系是： (x)A(x) A(a1)A(a2) A(an) (x)A(x) A(a1)A(a2)A(an) 例：求谓词公式(x)（P(x) Q(x)）的值，其中 P(x): x=1 Q(x): x=2 论域=1,2 解：原式 (P(1) Q(1)(P(2) Q(2）) (1=1)(1=2)(2=1) (2=2) (TF)(FT) T,四、量化命题函数与命题的关系,2.4变元的约束,注意： 量词对变元的约束，往往与量词的次序有关，量词的次序不能颠倒。 对命题中的多个量词，约定从左到右的次序读出。,五、量词的顺序,15,小结：本节介绍了约束变元、自由变元的概念，重点掌握约束变元的换名与自由变元的代入. 作业: P66 (4)a， （5）b,2.4变元的约束,