《高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式导学案苏教版必修420170.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式导学案苏教版必修420170.wps（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2.31.2.3 三角函数的诱导公式 课堂导学 三点剖析 1.三角函数的诱导公式 【例 1】求下列各三角函数值. (1)sin( (2)cos( 10 ); 3 29 ); 6 (3)tan(-855). 思路分析：直接运用诱导公式进行变形求值即可. 10 10 解：(1)sin( )=-sin 3 3 4 =-sin(2+ ) 3 4 =-sin 3 =-sin(+ ) 3 =sin 3 = 3 2 . 29 (2)cos =cos(4+ 6 5 =cos =cos( ) 6 6 5 6 ) =-cos 6 3 . 2 = (3)tan(-855)=-tan855 =-tan(2360+
2、135) =-tan135=-tan(180-45) =tan45=1. 温馨提示 对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正 角 大 于 360,再 利 用 诱 导 公 式 一 ， 化 为 0360间 的 角 的 三 角 函 数 ， 若 这 时 是 90360间的角，再利用 180+ 或 180- 或 360- 的诱导公式化为 090间 的角的三角函数. 【例 2】化简： cos(3k 1 3k 1 ) cos( ) cos(3k 1 3k 1 (kZ Z). 3 3 思路分析：将 k 分为奇数和偶数，再利用诱导公式. 解法 1：当 k=2n,nZ Z 时
3、， 1 原式=cos(k+ +)+cos(k- -) 3 3 =cos(2n+ +)+cos(2n- -) 3 3 =cos( +)+cos( +)=2cos( +). 3 3 3 当 k=2n+1，nZ Z 时， 原式=cos(2n+1)+ +cos(2n+1)- -=cos(+ 3 3 3 =-cos( +)-cos( +)=-2cos( +). 3 3 3 解法 2：(k+ +)+(k- -)=2k, 3 3 cos(k- -)=cos2k-（k+ +）=cos(k+ +). 3 3 3 原式2cos（k- -）= 3 +)+cos(- 3 -) 2 cos( )(k 3 2 cos(
4、)(k 3 2n,n 2n Z), 1,n Z). 温馨提示 观察每组诱导公式的等号两边的角度，不难发现，这两个角度的和或差是一个轴线角，即 为 k，kZ Z 的形式.于是诱导公式的一个重要的功能是：如果两个角的和或差是轴线角 k， kZ Z 的话，利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理. 2.关于直线 y=x对称的点的性质与（ 2 ）的诱导公式 【例 3】证明 sin（-）=-sin,cos（-）=cos,tan(-)=-tan. 思路分析：利用三角函数定义解析问题. 证明：设任意角 的终边与单位圆的交点坐标为 P1（x,y），由于角- 的终边与角 的终边 关于 x 轴对称，角- 的终边
5、与单位圆的交点 P2与点 P1，关于 x 轴对称，因此点 P2的坐标是 （x,-y），由三角函数的定义得 sin=y,cos=x,tan= y x ; sin(-)=-y,cos(-)=x,tan(-)=- y x ; 从而得 sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan. 温馨提示 学习过程中，充分理解本节的宗旨，突出数形结合思想. 3.诱导公式应用时符号的确定 【例 4】 已知 sin（3+）= 1 3 , 2 求 cos( ) coscos( ) 1 sin( 3 2 cos( ) cos( 2 ) 3 sin( 2 ) ) 的值. 解析：sin(3+)= 1 3
6、 , sin=- 1 3 . 原式= cos cos(cos 1) cos cos (cos) cos = 1 1 1 2 cos 1 cos sin2 = ( 2 1 3 ) 2 =18. 温馨提示 应用公式时，名称是否变化一般能观察明白，而函数符号的判断要注意，易出错. 各个击破 类题演练 1 1 求下列各三角函数值. 16 (1)sin( ); 3 (2)cos(-945). 16 解：（1）解法 1：sin( )=-sin16 3 3 4 =-sin(4+ ) 3 =-sin 4 3 =-sin+ 3 =sin 3 = 3 2 . 16 解法 2：sin( )=sin(-6+ 3 2
7、3 ) =sin 2 3 =sin(- 3 )=sin 3 = 3 2 . (2)cos(-945)=cos945=cos（2360+225） =cos225=cos(180+45)=-cos45= 2 . 2 变式提升 1 1 计算：（1）cos 5 +cos 2 5 +cos 3 5 +cos 4 5 ; (2)tan10+tan170+sin1 866-sin(-606). 3 4 2 3 解：(1)原式=(cos +cos )+(cos +cos 5 5 5 5 2 2 =cos +cos(- )+cos +cos(- 5 5 5 5 2 2 =(cos -cos )+(cos -co
8、s )=0. 5 5 5 5 ) ) (2)原式=tan10+tan(180-10)+sin1 866-sin(-606) =tan10+ sin(180 cos(180 10) 10) +sin(5360+66)-sin（-2）360+114 =tan10-tan 10+sin66-sin66=0. 类题演练 2 2 化简： sin (2n 1 ) s i n sin( 2 n ) c o s ( (2n 1) 2n ) (nZ Z). 思路分析：“考查诱导公式的应用，关键在于去掉 n”. sin( ) sin( ) 2sin 2 解： 原式= . sin cos sin cos cos 变
9、式提升 2 2 (1)已知 tan(-)=2,求 sin 2 2sin 3sin 2 4 cos 2 cos 2 1 的值. 思路分析：首先求出 tan,“”其次将所求式子 弦化切 化简. 解：由 tan(-)=2 得 tan=-2. 则原式= sin 2 2sin c o s c o s 2 5 cos 2 2 s i n 2 tan 2 5 2 tan 2 tan 2 1 7 = . 3 3 (2)已知：cos( -2)=m,求 cos(2+ )的值. 4 4 3 思路分析：根据（ -2）与（2+ ）是互补的角，适当选择诱导公式计算. 4 4 3 解：（ -2）+(2+ )=, 4 4 3
10、 cos(2+ )=cos-( -2) 4 4 =-cos( -2)=-m. 4 类题演练 3 3 求证 sin（-）=sin,cos（-）=-cos,tan(-)=-tan. 证明：设任意角 的终边与单位圆的交点坐标为 P1（x,y），由于角（-）的终边与角 的终边关于 y 轴对称，角（-）的终边与角 的终边关于 x 轴对称，角（-）的终边 与单位圆的交点 P2与点 P1关于 y 轴对称，因此点 P2的坐标是（-x,y），由三角函数的定义得： 4 sin=y,cos=x,tan= y x ; sin(-)=y,cos(-)=-x,tan(-)=- y x ; 从而得 sin(-)=sin,c
11、os(-)=-cos,tan(-)=-tan. 变式提升 3 3 求证：sin( -)=cos,cos( -)=sin. 2 2 证明：设任意角 的终边与单位圆的交点 P1的坐标为（x,y）.由于角 - 的终边与角 2 的终边关于直线 y=x 对称，角 - 的终边与单位圆的交点 P2与点 P1关于直线 y=x 对称，因 2 此点 P2 的坐标是（y,x）.于是我们有： cos=x,sin=y; cos( -)=y,sin( -)=x. 2 2 从而得 sin（ -）=cos,cos( 2 类题演练 4 4 2 -)=sin. 在 ABC 中 ， sin （ A+B+C ）； sin （ A+B
12、 ） +sinC ； cos （ A+B ） +cosC ； tan A 2 B tan C 2 ;tan(A+B)-tanC,其中表示常数的有_. 解析：sin(A+B+C)=sin=0. sin(A+B)+sinC=sin(-C)+sinC=2sinC. cos(A+B)+cosC=cos(-C)+cosC=-cosC+cosC=0. ta n A 2 Bta n C 2 =tan(90 - C 2 ) tan C 2 =co t C 2 ta n C 2 =1 . tan(A+B)-tanC=tan(-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC. 故应填. 答案： 变式提升 4 4 若 f(sinx)=cos17x，求 f( 1 2 )的值. 思路分析：此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表 达式的意义，灵活运用诱导公式. 解： f( 1 2 ) =f(sin 6 17 )=cos 6 =cos(2 + 5 6 ) =cos 5 6 =cos( )=- cos 6 6 3 . 2 = 5