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1、导体与电介质习题,18-1,18-2,18-3,18-4,18-5,18-6,18-7,18-8,18-9,18-10,18-11,18-12,18-13,18-14,18-15,18-16,18-17,18-18,18-19,18-20,18-21,18-22,18-23,18-24,18-25,18-26,18-27,18-28,18-29,18-30,18-31,18-32,18-33,18-34,18-35,18-36,18-37,18-38,18-39,18-40,18-41,18-42,18-43,18-44,18-45,习题总目录,结束,9-1 一块很大的带电金属薄板，其电荷 面
2、密度为，离金属板为d处有一质量为m、 电荷量为-q的点电荷从静止释放，计算电荷 的加速度及落到板上时的速度和时间。 （忽略重力和-q 对金属板上电荷分布的影响）,目录,结束,解：,目录,结束,9-2 有一块很大的带电金属板及一小球， 已知小球的质量为m =1.010-3g，带有电 荷量q =2.010-8C，小球悬挂在一丝线的 下端，平衡时悬线与金属板面间的夹角为 300，如图所示。试计算带电金属板上的电 荷面密度 。,目录,结束,=5.010-9(C/m2),解：,目录,结束,9-3 证明在静电平衡时，导体表面某面 元S所受的静电力为:,目录,结束,面元外侧场强可视为面元S在外侧所产 生的场
3、强和导体其余部分电荷所产生的场 强E1之和，即：,面元S还将在内侧所产生场强,目录,结束,在静电平衡时，内侧的合场强（导体内 部）应为零。,目录,结束,9-4 一质量为 m、面积为S 的均质薄金 属盘 ，放置在一无限大导体平板上，平板 水平放置,最初盘和平板都不带电，然后逐 渐使它们带电。问电荷面密度增加到何值 时，金属盘将离开平板。,目录,结束,解：,使金属板离开的条件为：,目录,结束,9-5 在一无限大接地导体平板附近有一 点电荷q，它离板面的距离为 d。求导体表 面上各点的感应电荷面密度 。,目录,结束,解：因为导体是一等势面。可以设想若在左侧对称位置上放置一带电量为-q的点电荷，那么由
4、这两个点电荷所形成的电场在板上仍然为一等势面，即用-q去代替板上的感应电荷，所产生的场是是一样的。,目录,结束,目录,结束,9-6 半径为r1 、 r2 (r1 r2 )的两个同心导 体球壳互相绝缘，现把+q 的电荷量给予内 球，求： （1）外球的电荷量及电势； （2）把外球接地后再重新绝缘，外球的 电荷量及电势； （3）然后把内球接地，内球的电荷量及 外球的电势的改变(设内球离地球很远)。,目录,结束,解： (1)由于静电感应，外球内表面电量为 -q，外表面电量为+q,(2)外球内表面电量仍为-q,外表面电量为零,(3)设内球电量为q1,内球电势为零,外球的电势为：,外球的电势为：,目录,结
5、束,外球的电势改变为：,目录,结束,9-7 点电荷q =4.010-10C，处在导体球 壳的中心，壳的内外半径分别为R1=2.0cm 和R2=3.0cm ，求： （1）导体球壳的电势； （2）离球心r =1.0cm处的电势； （3）把点电荷移开球心1.0cm后导体 球壳的电势。,目录,结束,=120(V),解：(1),=300(V),(2)由静电感应和电势叠加原理,(3)因不影响导体壳外表面电荷，所以电势,与(1)相同。,目录,结束,9-8 有直径为16cm及10cm的非常薄的两 个铜制球壳，同心放置时，内球的电势为 2700V，外球带有电荷量为8.010-9C，现 把内球和外球接触，两球的电
6、势各变化多少？,目录,结束,解：设内球电势为U1 ，电量为q1，外球电势为U2 ，电量为q2,目录,结束,两球接触后，内球电荷q1全部移至外球壳，两球为等势体。,外球电势不变。,目录,结束,9-9 半径为R1=1.0cm的导体球，带有电荷 q1=1.010-10C,球外有一个内、外半径分别 为R2=3.0cm 、 R3=4.0cm的同心导体球壳， 壳上带有电荷Q =1110-10C,试计算： （1）两球的电势U1和U2； （2）用导线把球和壳联接在一起后U1和 V2分别是多少？ （3）若外球接地，U1和U2为多少？,目录,结束,=3.3102(V),解：(1)内球电势为,外球电势,=2.710
7、2(V),目录,结束,(2)联接后,(3)外球接地,内球电势,目录,结束,9-10 两块无限大带电平板导体如图排列， 证明在（1）相向的两面上（图中的2和3）， 其电荷面密度总是大小相等而符号相反； （2）背向的两面上（图中的1和4），其电 荷面密度总是大小相等且符号相同。,目录,结束,解：设两个板四个面的电荷面密度分别为 s1, s2, s3, s4,静电平衡时，导体内部任意一点的场强为零,目录,结束,解得：,目录,结束,9-11 三平行金属板A、B 、C面积均为 200cm2，A、B 间相距4.0mm， A、C 间 相距2.0mm，B 和C 两板都接地。如果使A 板带正电3.010-7C
8、，求： （1）B 、C 板上感应电荷； （2）A 板的电势。,目录,解：设A板带电为q =q1+q2，B、C两板的感 应电荷分别为- q1及- q2 。,q1= 1.010-7(C),q2= 2.010-7(C),qB= -q1= -1.010-7(C),qC= -q2= -2.010-7(C),目录,9-12 两个半径相同的金属球，其中一 个是实心的，另一个是空心的，电容是否相 同?如果把地球看作半径为6400km的球形 导体，试计算其电容。,目录,结束,=7.110-4(F),解：两导体的电容相同,地球的电容为：,目录,结束,9-13 如图所示，证明A、B间的总电容等 于C2的条件是C2=
9、0.618C1。,目录,结束,证：,目录,结束,9-14 如图，C1=10mF， C2=5.0mF， C3=5.0mF。 （1）求A、B间的电容： （2）在A、B间加上100V的电压，求C2上 的电荷量和电压； （3）如果q 被击穿，问C3上的电荷量和电 压各是多少？,目录,结束,=10.0+5.0=15(mF),=25(V),=5.010-625,=1.2510-4(C),解：,目录,结束,=100(V),=5.010-6100,=5.010-4(C),目录,结束,9-15 如图，C1=C2=C4=2.0mF， C3=C5=C6=4.0mF 。 （1）求A、B 间的电容； （2）如A、B 间
10、的电压为200V，求每块 板上的电荷量； （3）求出每一电容器中贮藏的能量。,目录,结束,=4.010-4(C),解：,=1.7210-4(C),目录,结束,=5.710-5(C),=1.110-4(C),目录,结束,9-16 一块相对电客率er =5的扁平电介质， 垂直放置于D =1C/m2的均匀电场中，已知 电介质的体积为0.1m3,并且是均匀极化， 求： （1）电介质里的电极化强度； （2）电介质总的电偶极矩。,目录,结束,解：,目录,结束,9-17 一扁平的电介质板er =5垂直放在 一均匀电场里，如果电介质表面上的极化 电荷面密度为=0.5Cm2，求： （1）电介质里的电极化强度和电
11、位移； （2）介质板外的电位移； （3）介质板里和板外的场强。,目录,结束,解：,=1.891010(V/m),=7.571010(V/m),目录,结束,9-18 平板电容器极板间的距离为d 保持 极板上的电荷不变，把相对电容率为er 厚度 为 (d)的玻璃板插入极板间，求无玻璃 板时和插入玻璃板后极板间电势差的比。,目录,结束,解：设板上的电荷面密度为s,插入玻璃板以后,目录,结束,9-19 两个电容相同的平行板电容器，串 联后接入电动势为e 的电源，若不切断电源， 在第二个电容器中充以相对电容率er =7 的电 介质，那么第一个电容器两极板间的电势差 将是原来的多少倍。,目录,结束,解：设
12、极板上的电量为q1因为串联,设插入电介质后电量为q ,增加1.75倍,目录,结束,9-20 两个相同的电容器并联后，用电压 U 的电源充电后切断电源，然后在一个电容 器中充满相对电容率为er 的电介质。求此时 极板间的电势差。,目录,结束,解：,因为总电量不变，所以,目录,结束,9-21 两个同心球壳组成的球形电容器， 半径为 R1和 R2 (R2 R1)，通过其中心的平 面把它一分为二，其中一半是空气，另一半 充满相对电客率为er 的电介质。试证明其电 容等于用相对电容率为,全部电容器的电容。,的电介质充满,目录,结束,解：,两只电容器相当于并联,与Cr比较可得：,目录,结束,9-22 一个
13、可变电容器，由于某种原因使 所有动片相对定片都产生了一个相对位移， 使得两个相邻的极板间隔之比为1：2，问 电容器的电容与原来的相比改变了多少？,目录,结束,解：设原来相邻动片与定片之间的距离 为d ，相对面积为S。,设定片有n片，动片有(n-1)片。,将两片定片之间插入一动片作为一个单元。,共有(n-1)单元。,每个单元相当于两个相同的,电容器并联，其电容为：,目录,结束,变化后每个单元的电容为：,每个单元电容的改变为：,整个电容器电容的改变为：,目录,结束,9-23 两块相互平行的大金属板，板面积 均为S ,间距为d 用电源使两板分别维持在电 势V 和零电势，现将第三块相同面积而厚度 可略
14、的金属板插在两板的正中间，已知该 板上原带有电荷量 q ，求该板的电势。,目录,结束,解：未插入带电导体片时，AB间场强都为,插入带电导体片后，AB间场强变为,目录,结束,9-24 一平板电容器（极板面积为S 间距为 d）中充满两种介质（如图），设两种介质在 极板间的面积比(S1/S2)=3，试计算其电容。 如两电介质尺寸相同，电容又如何？,目录,结束,解：设第一种介质所占面积为S1 ，第二 种介质所占面积为S-S1 。,两个电容器并联,目录,结束,9-25 平板电容器（极板面积为S 间距为 d）中间有两层厚度各为d1和d2(d1=d1+d1 )、 电容率各为e1和e2的电介质，试计算其电容。
15、 如d1=d2 ，则电容又如何？,目录,结束,解：相当于两个电容器串联,若,目录,结束,9-26 一平行板电容器的电容为100pF， 极板的面积为100cm2，极板间充满相对电 容率为5.4的云母电介质，当极板上电势差 为50V时，求： （1）云母中的场强E； （2）电容器极板上的自由电荷； （3）云母介质面上的极化面电荷；,目录,结束,=1.1104(V/m),解： (1),=4.110-9(C),目录,结束,9-27 有两块平行板，面积各为100cm2， 板上带有8.910-7C的等值异号电荷，两板 间充以介电物质，已知介质内部电场强度为 1.4106Vm，求： （1）介质的相对电容率；
16、（2）介质面上的极化面电荷。,目录,结束,=7.2,解：(1),=7.710-7(C),目录,结束,9-28 在一平行板电容器的两板上带有等 值异号的电荷，两板间的距离为5.0mm， 充以er =3的介质，介质中的电场强度为 1.0106 Vm，求： （1）介质中的电位移矢量； （2）平板上的自由电荷密度； （3）介质中的极化强度； （4）介质面上的极化电荷面密度； （5）平行板上自由电荷及介质面上极化电 荷所产生的那一部分电场强度。,目录,结束,=3.08.8510-121.0106,=2.710-5(C/m2),解:,=1.810-5(C/m2),=2.0106(V/m),(1),目录,结
17、束,9-29 两板相距为5.0mm的平板电容器， 板上带有等值异号的电荷，电荷的面密度为 20mCm2，两板间平行于板面放置两片电 介质，一为2.0mm厚，相对电客率为3，另 一为3.0mm厚，相对电容率为4，求： （1）各介质中的电位移矢量； （2）各介质中的电场强度； （3）各介质面上的极化电荷面密度。,目录,结束,解：(1),(2),(3),目录,结束,9-30 在半径为R 的金属球之外包有一 层均匀介质层（见图），外半径为R设电 介质的相对电容率为er ，金属球的电荷量为 Q，求： （1）介质层内、外的场强分布； （2）介质层内、外的电势分布； （3）金属球的电势。,目录,结束,解：(
18、1),目录,结束,9-31 半径为R0的导体球带有电荷Q ， 球外有一层均匀电介质的同心球壳，其内外 半径分别为R1和R2 ，相对电容率为er （见 图），求： （1）介质内外的电场强度E和电位移D； （2）介质内的极化强度P和表面上的极化 电荷面密度 。,目录,结束,解：,目录,结束,9-32 圆柱形电容器是由半径为R1的导线 和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内半径为 R2 ，长为 l ，其间充满了相对电容率为er 的介质（见图）。设导线沿轴线单位长度上 的电荷为l0 ，圆筒上单位长度的电荷为-l0 ， 忽略边缘效应。求： （1）介质中的电场 强度 E、电位移D 和 极化强度P ； （2）介质
19、表面的极 化电荷面密度 。,目录,结束,解：,目录,结束,9-33 一块石蜡(er 2 =2.1 )平面上方(空气) 的场强下与石蜡平面的交角为 a1= 450， 试求石蜡内部场强与平面的交角。,目录,结束,解：,目录,结束,9-34 一分界面左、右两侧电介质的相对 电容率分别er =3和er =7。设在分界面左侧 的场强大小为E1 =104Vm，方向与界面 法线成450角，且指向左侧。求分界面右侧 的场强E2 。,目录,结束,解：,=17690(V/m),目录,结束,9-35 三个点电荷位置如图。试计算； （1）任两个电荷间的相互作用能； （2）这电荷系统的相互作用能。,目录,结束,解：,目
20、录,9-36 三个相同的点电荷放置在等边三角 形的各顶角上，设三角形的边长为 l ，顶点 上的电荷都是q,计算电荷系的相互作用能。 如果三角形中心放置电荷,计算中心电荷在其余三,电荷的外电场中的电势能。,目录,结束,解： (1)两个顶点电荷在第三顶点所产生 的电势为：,电荷系统相互作用能为：,(2)各顶点电荷在中心处所产生的电势为：,目录,结束,9-37 重原子的核可粗略地看作是电荷密 度恒定的物质小球，电荷体密度为=(4/3) 1025C/m3 。如果一总电量 Q =92e。的 铀核分裂为两个带有等量电荷、半径相同 的核相离远去，求在此过程中电势能变化多 少，用MeV表示。 （设分裂后仍保持
21、原来的电荷体密度。）,目录,结束,=6.410-15(m),解：设铀核分裂前半径为a,=5.110-15(m),由：,再由：,求出分裂后半径r,目录,结束,下面求均匀带电球体的电势能。,现设想总电量是从分散在无限远处积聚起来的，,建立rr +dr 这一层时，所移的电量为,且电荷是从球心起，按同心球壳一层一层积累起来。,将dq移到电荷已积聚到半径为 r 的球时,球表面,的电势为:,移动到球的表面,电势能的增量为:,目录,结束,分裂前带电球体的电势能为:,分离后系统的电势能为:,目录,结束,=-400(MeV),目录,结束,9-38 电容分别为C1和C2的两个电容器， 把它们并联充电到电压U和把它
22、们串联充电 到电压2U，在电容器组中，哪种形式储存 的电荷量、能量大些？大多少？,目录,结束,解：并联时,串联时,目录,结束,结论:电量和能量都是并联时大.,目录,结束,9-39 半径为2.0cm的导体球，外套同心 的导体球壳，壳的内外半径分别为4.0cm和 5.0cm，球与壳之间是空气，壳外也是空气， 当内球的电荷量为3.010-8C时， （1）这个系统储藏了多少电能？ （2）如果用导线把壳与球联在一起，结果 如何？,目录,结束,=1.810-4(J),解： (1)在内壳空气中及壳外空气中场强为,目录,结束,=8.110-4(J),(2)若用导线将球与壳相连联,电荷将移,到壳外表面。,目录,
23、结束,9-40 一空气电容器充电后切断电源，然 后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如 果在灌油时电容器一直与电源相连，能量又 如何变化？,目录,结束,解：(1)若切断电源再注入煤油，电量不变,(2)若与电源相联再注入煤油，电压不变,目录,结束,9-41 两个相同的空气电容器，其电容都 是0.9010-9F，都充电到电压各为900V后 断开电源，把其中之一浸入煤油(er =2)中， 然后把两个电容器并联，求： （1）侵入煤油过程中损失的静电场能： （2）并联过程中损失的静电场能。,目录,结束,=3.6510-4(J),解：(1)每只电容器原来能量为,=1.8310-4(J),=1.8210-4
24、(J),注入煤油电容器的能量为,目录,结束,(2)若并联，切断电源，总电量不变,=2.3410-4(J),目录,结束,9-42 一平行板电容器有两层介质,er1 =4, er2 =2 ,厚度为d1=2.0mm，d2=3.0mm， 极板面积为S=40cm2,两极板间电压为200V。 计算。 （1）每层介质中的电场能量密度； （2）每层介质中的总电能； （3）用式告(1/2)qU算电容器的总电能。,目录,结束,=2.5104(V/m),=5.0104(V/m),=4.08.8510-122.5104,=8.8510-7(C/m2),由上两式解得,目录,结束,=1.1110-2(J/m3),=2.2
25、210-2(J/m3),=2.6610-7(J),=8.8810-8(J),目录,结束,=3.5410-9(C),=3.5410-7(J),目录,结束,9-43 电容C1=4mF的电容器在800V的电 势差下充电，然后切断电源，并将此电容器 的两个极板分别和原来不带电、电容为C2= 6mF的两极板相连，求： （1）每个电容器极板所带电荷量； （2）连接前后的静电场能。,目录,结束,(2),解：(1),目录,结束,9-44 两个同轴的圆柱，长度都是 l ,半径 分别为R1及R2 ，这两个圆柱带有等值异号 电荷Q，两圆柱之间充满电容率为e 的电介 质。 （1）在半径为r ( R1 r R2 )厚度
26、为dr 的 圆柱壳中任一点的电场能量密度是多少？ （2）这柱壳中的总电场能是多少？ （3）电介质中的总电场能是多少？ （4）从电介质中的总电场能求圆柱形电 容器的电容。,目录,结束,目录,9-45 两个半径都是R、电荷量分时为+q 和-q 的金属小球相距 r ，设r R ,计算系 统的静电能。在释放两球后，两球相互吸引 而相碰时的速率多大？如果（1）两球的质 量相等；（2）带正电荷小球的质量比带负 电荷小球的质量大很多（按经典理论计算）。,目录,结束,解： (1),目录,结束,目录,结束,目录,习题总目录,结束,m,1,2,3,a,q,a,A,B,C,D,g,z,x,n,s,f,h,m,q,r,t,u,v,w,y,e,l,p,c,b,d,k,j,i,o,n,1,2,0,sin,l,m,+,=,j,m,12121212,e,r2,r 2,R2,R2,=1102(m2/m2),p,p2,2pr,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,+,=,s,