2020版高考理科数学（人教版）一轮复习课时跟踪检测：（六十七） 古典概型与几何概型 Word版含解析.pdf

《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习课时跟踪检测：（六十七） 古典概型与几何概型 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习课时跟踪检测：（六十七） 古典概型与几何概型 Word版含解析.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、课时跟踪检测（六十七）课时跟踪检测（六十七） 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 一、题点全面练一、题点全面练 1.(2019衡水联考衡水联考)2017 年年 8 月月 1 日是中国人民解放军建军日是中国人民解放军建军 90 周年， 中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币 周年， 中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚如图所示是一枚 8 克 圆形金质纪念币，直径 克 圆形金质纪念币，直径 22 mm，面额，面额 100 元元.为了测算图中军旗部分的面 积，现用 为了测算图中军旗部分的面 积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有次，其

2、中恰有 30 次落在军旗内，据 此可估计军旗的面积大约是 次落在军旗内，据 此可估计军旗的面积大约是( ) A. mm2 B. mm2 363 10 363 5 C. mm2D. mm2 726 5 363 20 解析：选解析：选 A 向硬币内投掷 向硬币内投掷 100 次，恰有次，恰有 30 次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约 是 次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约 是 S112(mm2). 30 100 363 10 2.(2019漳州一模漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“论语知识大赛” ，决出第名同学参加“论语知识大赛” ，决出第 1 名 到第 名

3、到第 5 名的名次名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是 你俩都没得到第一名” ；对乙说“你当然不会是最差的” ，从上述回答分析，丙是第一名的概 率是 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是 你俩都没得到第一名” ；对乙说“你当然不会是最差的” ，从上述回答分析，丙是第一名的概 率是( ) A.B. 1 5 1 3 C.D. 1 4 1 6 解析：选解析：选 B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因为所 有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这

4、三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是 第一名的概率是 又因为所 有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是 第一名的概率是 . 1 3 3.(2019郑州模拟郑州模拟)现有现有 5 人参加抽奖活动，每人依次从装有人参加抽奖活动，每人依次从装有 5 张奖票张奖票(其中其中 3 张为中奖票张为中奖票) 的箱子中不放回地随机抽取一张，直到的箱子中不放回地随机抽取一张，直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第 4 人抽完结束的概率为人抽完结束的概率为( ) A.B. 1 10 1 5 C.D. 3 10 2

5、5 解析：选解析：选 C 将 将 5 张奖票不放回地依次取出共有张奖票不放回地依次取出共有 A 120(种种)不同的取法，若活动恰好在不同的取法，若活动恰好在 5 5 第四次抽奖结束，则前三次共抽到第四次抽奖结束，则前三次共抽到 2 张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有 C C A 2 31 23 3 36(种种)取法，所以取法，所以 P. 36 120 3 10 4.(2019长沙模拟长沙模拟)如图是一个边长为如图是一个边长为 8 的正方形苗圃图案， 中间黑色 大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆 的半径是黑色小圆半径的

6、的正方形苗圃图案， 中间黑色 大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆 的半径是黑色小圆半径的 2 倍倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取 自黑色区域的概率为 若在正方形图案上随机取一点，则该点取 自黑色区域的概率为( ) A.B. 8 16 C.1D.1 8 16 解析解析：选选 C 正方形的面积为正方形的面积为 82，正方形的内切圆半径为正方形的内切圆半径为 4，中间黑色大圆的半径为中间黑色大圆的半径为 2，黑色，黑色 小圆的半径为小圆的半径为1， 所以白色区域的面积为所以白色区域的面积为42224128， 所以黑色区域的面积为所以黑色区域的面积为82 8.在正方

7、形图案上随机取一点，在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为则该点取自黑色区域的概率为 P1 . 82 8 82 8 5.(2019郑州模拟郑州模拟)已知圆已知圆 C： x2y21， 直线， 直线 l： yk(x2)， 在1,1上随机选取一个数， 在1,1上随机选取一个数 k， 则事件“直线 ， 则事件“直线 l 与圆与圆 C 相离”发生的概率为相离”发生的概率为( ) A.B. 1 2 2 2 2 C.D. 3 3 3 2 3 2 解析：选解析：选 C 圆 圆 C：x2y21 的圆心的圆心 C(0,0)，半径，半径 r1，圆心到直线，圆心到直线 l：yk(x2)的距 离 的距 离

8、 d， 直线， 直线 l 与圆与圆 C 相离时相离时 dr， 即， 即1， 解得， 解得 k或或 k |0 k02k| k2 1 2 2|k| k21 2|k| k21 3 3 ，故所求的概率，故所求的概率 P. 3 3 2 ( ( 1 3 3 ) ) 1 1 3 3 3 6.从从 19 这这 9 个自然数中任取个自然数中任取 7 个不同的数， 则这个不同的数， 则这 7 个数的平均数是个数的平均数是 5 的概率为的概率为_. 解析 ： 从解析 ： 从19这这9个自然数中任取个自然数中任取7个不同的数的取法共有个不同的数的取法共有C 36种， 从种， 从(1,9)， (2,8)， (3,7)，

9、 7 9 (4,6)中任选中任选 3 组，有组，有 C 4 种选法，故这种选法，故这 7 个数的平均数是个数的平均数是 5 的概率的概率 P . 3 4 4 36 1 9 答案：答案：1 9 7.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当有两个数字的和等 于第三个数字时称这个三位数为“好数” ，当且仅当有两个数字的和等 于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如如 213,134)，若，若 a，b，c1,2,3,4，且，且 a，b，c 互 不相同，则这个三位数为“好数”的概率是 互 不相同，则这个三位数为“好数”的概率是_. 解析

10、： 从解析 ： 从 1,2,3,4 中任选中任选 3 个互不相同的数并进行全排列， 共组成个互不相同的数并进行全排列， 共组成 A 24 个三位数， 而 “好个三位数， 而 “好 3 4 数” 的三个位置上的数字为数” 的三个位置上的数字为 1,2,3 或或 1,3,4， 所以共组成， 所以共组成 2A 12 个 “好数” ， 故所求概率个 “好数” ， 故所求概率 P 3 3 12 24 . 1 2 答案：答案：1 2 8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转 化， 相对统一的形式美 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转 化， 相对统一的形式美. 按照

11、太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐 标系中，圆 按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐 标系中，圆O被函数被函数y3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中 6 小圆的半径均为小圆的半径均为 1， 现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为， 现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_. 解析：根据题意，大圆的直径为函数解析：根据题意，大圆的直径为函数 y3sin x 的最小正周期的最小正周期 T，又，又 T12，所以大，所以大 6 2 6 圆的面积圆的面积 S 2 36，一个小圆的面积，一个小圆的面积 S12，故在大圆内随机

12、取一点，此点取，故在大圆内随机取一点，此点取 ( ( 12 2 ) ) 自阴影部分的概率自阴影部分的概率 P. 2S S 2 36 1 18 答案：答案： 1 18 9.(2018天津高考天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取 现 采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的设抽出的 7 名同学分

13、别用名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取表示，现从中随机抽取 2 名同学承 担敬老院的卫生工作 名同学承 担敬老院的卫生工作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； 设设 M 为事件“抽取的为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率发生的概率. 解：解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样 的方法从中抽取 ，由于采用分层抽样 的方法从中抽取 7 名同学， 所以应从甲、 乙、 丙三个年级的学生志

14、愿者中分别抽取名同学， 所以应从甲、 乙、 丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，人， 2 人，人， 2 人人. (2)从抽取的从抽取的 7 名同学中随机抽取名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为名同学的所有可能结果为A， B， A， C， A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E， B， F， B， G， C， D， C， E， C， F， C， G， D， E， D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共，共 21 种种. 由，不妨设抽出的由，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是，来

15、自乙年级的是 D，E， 来自丙年级的是 ， 来自丙年级的是 F，G，则从抽出的，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能 结果为 名同学来自同一年级的所有可能 结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共，共 5 种种. 所以事件所以事件 M 发生的概率发生的概率 P(M . 5 21 10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服 务，每个岗位至少有一名志愿者 四个不同的岗位服 务，每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加求甲、乙两人同时参加

16、A 岗位服务的概率；岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率岗位服务的概率. 解：解：(1)记“甲、乙两人同时参加记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件岗位服务”为事件 EA，那么，那么 P(EA)， A3 3 C2 5A4 4 1 40 即甲、乙两人同时参加即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是岗位服务的概率是. 1 40 (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E，那么，那么 P(E)，所以

17、甲、，所以甲、 A4 4 C2 5A4 4 1 10 乙两人不在同一岗位服务的概率是乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( )1P(E).E 9 10 (3)因为有两人同时参加因为有两人同时参加 A 岗位服务的概率岗位服务的概率 P2 ，所以仅有一人参加 ，所以仅有一人参加 A 岗位服务岗位服务 C2 5A3 3 C2 5A4 4 1 4 的概率的概率 P11P2 . 3 4 二、专项培优练二、专项培优练 (一一)易错专练易错专练不丢怨枉分不丢怨枉分 1.(2019太原联考太原联考)甲、乙二人约定甲、乙二人约定 7：10 在某处会面，甲在在某处会面，甲在 7：007：20 内某一时刻随 机到达，

18、乙在 内某一时刻随 机到达，乙在 7：057：20 内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙 5 分钟的概率是分钟的概率是( ) A.B. 1 8 1 4 C.D. 3 8 5 8 解析：选解析：选 C 建立平面直角坐标系如图， 建立平面直角坐标系如图，x，y 分别表示甲、乙二人 到达的时刻，则坐标系中每个点 分别表示甲、乙二人 到达的时刻，则坐标系中每个点(x， y)可对应甲、 乙二人到达时刻的可能性， 则甲至少等待乙 可对应甲、 乙二人到达时刻的可能性， 则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是分钟应满足的条件是Error!Error!其构成的区域为如图阴影部 分

19、， 则所求的概率 其构成的区域为如图阴影部 分， 则所求的概率P . 1 2 15 15 20 15 3 8 2.(2019开封模拟开封模拟)如图， 某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个如图， 某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 223的长方体框架， 一个建筑工人欲从的长方体框架， 一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至处沿脚手架攀登至 B 处，则其 最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为 处，则其 最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( ) A.B. 1 7 2 7 C.D. 3 7 4 7 解析：选解析：选 B 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走 根据题意，最

20、近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走 3 次向上，次向上， 2 次向右，次向右， 2 次向前， 共次向前， 共 7 次， 最近的行走路线共有次， 最近的行走路线共有 A 5 040(种种).不能连续向上， 不能连续向上， 7 7 先把不向上的次数排列起来，也就是先把不向上的次数排列起来，也就是 2 次向右和次向右和 2 次向前全排列为次向前全排列为 A .接下来，就是把接下来，就是把 3 次向次向 4 4 上插到上插到 4 次不向上之间的空当中，次不向上之间的空当中，5 个位置排个位置排 3 个元素，也就是个元素，也就是 A ，则最近的行走路线中不，则最近的行走路线中不 3 5 连

21、续向上攀登的路线共有连续向上攀登的路线共有A A 1 440(种种)， 其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率， 其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P 4 43 5 .故选故选 B. 1 440 5 040 2 7 3.已知等腰直角已知等腰直角ABC 中，中，C90，在，在CAB 内作射线内作射线 AM，则使，则使CAM30的概率 为 的概率 为_. 解析 ： 如图， 在解析 ： 如图， 在CAB 内作射线内作射线 AM0， 使， 使CAM030， 于是有， 于是有 P(CAM 30 ) . CAM0 CAB 30 45 2 3 答案：答案：2 3 (二二)交汇专练交汇专练融会巧迁移融会巧

22、迁移 4.与平面向量交汇已知与平面向量交汇已知 P 是是ABC 所在平面内一点，且所在平面内一点，且20，现将一，现将一PB PC PA 粒黄豆随机撒在粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在内，则黄豆落在PBC 内的概率是内的概率是( ) A.B. 1 4 1 3 C.D. 1 2 2 3 解析解析 ： 选选 C 以以 PB，PC 为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形 PBDC，连接连接 PD 交交 BC 于点于点 O，则则.PB PC PD 20，PB PC PA 2，即，即2，PB PC PA PD PA 由此可得，由此可得，P 是是 BC 边上的中线边上的中线 AO 的中点，点的中点，点

23、P 到到 BC 的距离等于点的距离等于点 A 到到 BC 的距离的 ， 的距离的 ， S PBC S ABC， 将一粒黄豆随机撒在 ， 将一粒黄豆随机撒在ABC 内， 黄豆落在内， 黄豆落在PBC 内的概率内的概率 P 1 2 1 2 S PBC S ABC . 1 2 5.与定积分交汇点集与定积分交汇点集 (x，y)|0xe，0ye，A(x，y)|yex，(x，y)，在 点集 ，在 点集 中任取一个元素中任取一个元素 a，则，则 aA 的概率为的概率为( ) A.B. 1 e 1 e2 C.D. e 1 e e21 e2 解析：选解析：选 B 如图，根据题意可知 如图，根据题意可知 表示的平

24、面区域为正方形表示的平面区域为正方形 BCDO， 面积为， 面积为 e2， A 表示的区域为图中阴影部分， 面积为表示的区域为图中阴影部分， 面积为 (eex)dx1 0 (exex) (ee)(1)1，根据几何概型可知，根据几何概型可知 aA 的概率的概率 P .故选故选 B.|1 0 1 e2 6.与数学文化交汇如图， 来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几 何图形 与数学文化交汇如图， 来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几 何图形.此图由三个半圆构成， 三个半圆的直径分别为直角三角形此图由三个半圆构成， 三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的 斜边 的 斜边 BC， 直角边， 直角边

25、AB， AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分 记为，其余部分记为 的三边所围成的区域记为，黑色部分 记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则，则( ) A.p1p2B.p1p3 C.p2p3D.p1p2p3 解析：选解析：选 A 不妨设 不妨设ABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ABAC2，则，则 BC2，2 所以区域的面积即所以区域的面积即ABC 的面积，的面积， 为为 S1 222， 1 2 区域的面积区域的面积 S2122， 2 2 2 2 区域的面积区域的面积 S322

26、. 2 2 2 根据几何概型的概率计算公式，根据几何概型的概率计算公式， 得得 p1p2，p3， 2 2 2 2 所以所以 p1p3，p2p3，p1p2p3，故选 A，故选 A. 7.与解析几何交汇双曲线与解析几何交汇双曲线 C：1(a0，b0)，其中，其中 a1,2,3,4，b1,2,3,4， x2 a2 y2 b2 且且 a，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线取到其中每个数都是等可能的，则直线 l：yx 与双曲线与双曲线 C 的左、右支各有一个交点 的概率为 的左、右支各有一个交点 的概率为( ) A.B. 1 4 3 8 C.D. 1 2 5 8 解析：选解析：选 B 直线 直线 l

27、：yx 与双曲线与双曲线 C 的左、右支各有一个交点，则 的左、右支各有一个交点，则 1，总基本事件数，总基本事件数 b a 为为 4416，满足条件的，满足条件的(a，b)的情况有的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共，共 6 个，故 概率为 个，故 概率为 . 3 8 8.与函数交汇在区间0,1上随机取两个数与函数交汇在区间0,1上随机取两个数 a，b，则函数，则函数 f(x)x2ax b 有零点的概率有零点的概率 1 4 是是_. 解析：函数解析：函数 f(x)x2ax b 有零点，则有零点，则 a2b 0，ba2，函数，函数 f(x)x2ax 1 4 b 有零点的概率有零点的概率 P . 1 4 1 0a2da 1 1 1 3 答案：答案：1 3