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1、两个向量的数量积,3.1.3 空间向量及其运算,一、引入,1.共线向量定理：,2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 平行，则 (2)三点P、A、B共线的充要条件有：,3.共面向量定理：,4.P、A、B、C四点共面充要条件：,已知非零向量 与 ，我们把数量 叫 作 与 的数量积（或内积），记作 ，即,1. 数量积的定义：,我们规定零向量与任一向量的数量积为零，即,注意： (1)数量积是两个向量之间的运算，要与“数乘”相区别； (2)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，它的符号 由cosq的符号决定； (3)点乘符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 也不能用“”代替.,
2、二、基础知识讲解,二、.空间向量的数量积性质,注意：性质2）是证明两向量垂直的依据； 性质3）是求向量的长度（模）的依据； （）性质是求两个向量夹角的依据；,对于非零向量 ，有：,三.空间向量的数量积满足的运算律,注意：,数量积的应用,数量积的应用（一）求线线角,课堂练习,课本92页1.,例1 已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。,A,数量积的应用（二）求线段长度,课堂练习,课本92页3.,数量积的应用（二）证明垂直,证明：,如图,已知:,求证：,在直线l上取向量 ,只要证,为,逆命题成立吗?,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证， A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,结论:正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直,例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,小 结： 到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题： 1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离 或线段长度。 3、证明线面垂直。）4、求两直线所成角的 余弦值等等。,