面内平动黏弹性板自由振动频率研究.doc

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1、精品论文面内平动黏弹性板自由振动频率研究唐有绮1，陈立群2,3（1. 上海应用技术学院机械工程学院，上海 201418；52. 上海大学力学系，上海 200444；3. 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072） 摘要：通过研究黏弹性阻尼对面内平动板横向振动频率的影响，比较两种 Kelvin 黏弹性本 构关系，即仅对时间取偏导数以及取物质导数的 Kelvin 本构。分别运用直接多尺度方法和 微分求积法，计算这两种黏弹性本构关系描述的板模型在四边简支边界条件下横向振动的固10有频率，比较两种黏弹性本构关系对横向振动频率的影响。给出了不同方法下考虑以及不考 虑物质导数时衰减系数和频率随着面内

2、平动速度变化的情况；并给出了衰减系数和频率随着黏弹性系数变化的情况。数值结果表明：微分求积法验证了直接多尺度方法得到的近似解析 结果。 关键词：一般力学与力学基础；面内平动板；黏弹性；自由振动；多尺度方法；微分求积法15中图分类号：O316Study on Free Vibration Frequencies of In-planeTranslating Viscoelastic PlatesTang Youqi1, Chen Liqun2,320(1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Sh

3、angHai 201418;2. Department of Mechanics, Shanghai University, ShangHai 200444;3. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, ShangHai 200072)Abstract: The effects of the viscoelastic damping on transverse vibration frequency of in-plane translating plates are investigated. The governin

4、g equation is derived from both the viscoelastic25constitution relation by using material derivative and the partial time derivative. The method of multiple scales and the differential quadrature scheme are employed to calculate the transversevibration frequency of the two plate models with four edg

5、es simple supported and to compare two viscoelastic constitutive relation. The effects of different in-plane translating speeds and different viscoelastic coefficients on the attenuation coefficients and the frequency are determined. The30numerical calculations confirm the approximate analytical res

6、ults.Keywords: general and fundamental mechanics; in-plane translating plate; viscoelastic; free vibration; method of multiple scales; differential quadrature schemes0引言35轴向运动体系的振动问题在军事、航空航天以及机械、电子工程等的制造生产等相关领 域中有广泛的应用，可以作为多种工程装置的力学模型。这些工程装置包括动力传送带、磁 带、纸带、纺织纤维、带锯、和航空航天工程中应用的复合材料层合板等。由于运动速度的 存在，运动结构会

7、产生较大的横向振动。运动结构横向振动及其控制的研究有着重要的工程 意义、经济意义和理论意义，具有相当广阔的应用前景。40由于其复杂性，对面内平动板的研究还比较少。Ulsoy 和 Mote1首次将大尺度的带锯简 化为面内平动板，分析了其横向和扭转的耦合振动。之后直到上世纪九十年代中后期才有一 些学者对面内平动线性弹性2-8或黏弹性9,10板进行了一系列的研究。但是，对黏弹性阻尼对 面内平动板横向振动频率的影响还不清楚。基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金(20093108110005)；国家自然科学基金青年基金(11202135)作者简介：唐有绮，(1984-)，男，讲师，主要研究方向：非线

8、性动力学与振动控制。E-mail:- 12 -本文研究了黏弹性阻尼对有平面张力的面内平动板横向自由振动频率的影响。分别利用45直接多尺度方法和微分求积法，计算仅对时间取偏导数以及取物质导数这两种黏弹性本构关 系描述的板模型在四边简支边界条件下横向振动的固有频率，比较两种黏弹性本构关系对横 向振动频率的影响。最后用微分求积方法对偏微分方程直接数值求解，结果显示其支持近似 解析分析的结果。1动力学方程50考虑一矩形薄板，由于板厚与其横向尺寸相比很小，可利用 kirchhoff 基本假设来对其 进行研究。当板沿中性面内某一方向连续平动时，其面内整体平动对横向振动特性将产生显 著影响。设边界受有纵向载

9、荷的板以速度 沿 x 轴作匀速直线平动，其平衡位置为 xoy 平面。板的长度为 a，宽度为 b，厚度为 h，单位面积的质量为 ，弹性模量为 E，黏弹性系数为，波松比为 ，横向位移为 w(x, y, t)。薄板 x 面每单位宽度上有预加张力 Nx0。其物理模型如图551 所示。图 1 面内平动黏弹性矩形薄板的物理模型Fig. 1 The physical model of an in-plane translating viscoelastic rectangular thin plate60由薄板 x 面沿 y 轴单位宽度上有预加张力 Nx0 引起的势能 U 为a b1U =N(ds dydx

10、 ) N1 + 1 w,2 dydxa b0 0x 00 0x 0 2x = a b 1 N w,2 dydx(1)0 0 2x 0x其中 ds 为微元体 1*dydx 变形后的体积。面内平动黏弹性板的动能 T 为T = a b 2 + d w 1dydx = 2 + ( w, + w,)2 dydx(2)a b2 0 0 2 d t 2 0 0t x 65面内平动黏弹性板的变形功的变分 Wd 为a b h 2Wd = ( x x + y y + xy xy ) dzdydx(3)0 0 h 2由于研究对象为非保守系统，故采用广义哈密尔顿原理。系统在 t=t1 和 t=t2 两个时刻 之间的真

11、实运动必须满足t2 ()t211tT Udt + tWd dt = 0(4)70为了便于分析，我们做无量纲化处理。引入w w ,t tN x 0 ,x x ,y y , =D, = ,x 0 ha = a , DabN a2N x 0(5)b Ea3 N x 0精品论文其中 是一个无量纲的参数，表征板的横向位移和黏弹性系数均为小量。将式(1)、(2)、(3)和(5)代入(4)，化简可得到无量纲化的动力学方程w, +2 w,+ ( 2 1) w,+ , w,+ ( w,+2 2 w,+ 4 w,) =tt xt xx t x xxxx xxyyyyyy(6) ( w,+2 2 w,+ 4 w,)

12、 + ( w,+2 2 w,+ 4 w,) xxxxt xxyyt yyyyt xxxxx xxxyy xyyyy 75四边简支板(SSSS)的无量纲化边界条件为x =1wx =1= 0,w, + w,+ w,+ w,= 0x =0 xx xxt xxx 2xyy x = 0y =1(7)y =1w= 0,y = 0w, yy+ ( w,)yyt + w,xyy = 02直接多尺度分析 y =0为了计算黏弹性系数对板特性的影响程度，我们使用二阶精度的直接多尺度方法。其 近似解可以写为()()()2( ) ( 2 )80w x, y, t; = w0x, y,T0 ,T1 ,T2+ w1x, y

13、, T0 ,T1 ,T2+ w2x, y, T0 ,T1 ,T2+ o (8)其中 T0=t 为由平动板的某些固有频率而致的快时间尺度；T1=t 是由黏弹性和速度小扰动而引发的振幅和相位慢变的慢时间尺度。将式(8)和下列关系式22 2 2 2 2 = + + 2 , = + 2+ 2 2+ + O ( 3 )(9)tTTTt 2T 2T T T TT 2 0 1 2 0 0 11 xx代入(6)和(7)，分离0、1 和2 不同阶量，得到0 2 1 0 0085 0 :w0 ,T T +2 w0 ,xT + ( 1) w0 ,xx + (w0 ,xxxx +2w ,+02 40 xxyyw0 ,

14、 yyyy ) = 0(10)0 ( ) ( ) ( ) () :w0= 0,x = 0, 1w0 ,xx x =0, 1= 0;w= 0,y = 0, 1w0 , yy= 04y = 0, 1(11)1 T T 1 : w ,0 0 +2 w1 ,xT+ ( 2 1) w ,+ (w1 ,xxxx+2 w ,2+ w ,1 xxyy1 yyyy ) =0 2 ( w , 0 1 + w0 ,) + w0 ,+20w0 ,+ w ,00(12)2 4100 T T xT xxxxT xxyyT yyyyT+ ( w0 ,xxxxx+2 w ,20 xxxyy+ w ,40 xyyyy) 1 :

15、 ( w )= 0,w , + w ,+ w ,+ w ,= 01 x = 0, 1 1 xx 0 xxT00 xxx 2 0 xyy x = 0, 1(13)( w1 )y =0, 1= 0, w1 , yy + ( w0 , yyT+ w0 ,xyy )= 001 y = 0, 12 T T 2 : w ,0 0 +2 w2 ,xT+ ( 2 1) w ,+ ( w2 ,xxxx+2 w ,42+ w ,12 xxyy2 yyyy ) =0w0 ,xxyyT +2 4 w0 ,T1T1 +2 ( w0 ,T0T2 + w0 ,xT2 ) + ( w0 ,xxxxT1 +2w0 , yyyy

16、T )(14)0 1 1+ 2 (w1 ,T T+ w1 ,xT) + w1 ,xxxxT022 xx+2 w ,1 xxyyT04+ w ,+1 yyyyT0 ( w1 ,xxxxx+2 w ,21 xxxyy+ w ,41 xyyyy) 2 : ( w )= 0,w , + w ,+w ,+ w ,+ w ,= 02 x =0, 1 2 xx 0 xxT11 xxT01 xxx 2 1 xyy x =0, 190(15)( w2 )y =0, 1= 0, 10w2 , yy + ( w0 , yyT + w1 , yyT+ w1 ,xyy )= 0式(10)的解可以写为 y = 0, 1

17、w ( x, y,T , T , T ) =( x, y ) A(T ,T ) ei mnT0 + cc(16)00 1 2 m =1 n =1mnmn1 2其中 Amn 为待定的复函数；mn 和mn 分别为线性派生系统第 mn 阶模态函数和固有频率。将式(16)代入(12)，导出0 0 w1 ,T T+2 w1 ,xT+ ( 2 1) w ,+ (w1 ,xxxx21 xxyy1 yyyy ) =952 (i + , ) A, + i ,1 xx1+2 ,+ ,)(17)+2 w ,+ w ,4( 24mn mnmn x mn Tmnmn xxxx mn xxyy mn yyyy+ (,+2

18、 2,+ 4,) Aei mnT0 + cc0mn xxxxx mn xxxyy mn xyyyy mn可解性条件要求非齐次方程(17)的非齐次部分与其伴随方程的齐次解正交，即2 (i + , ) A, + i (,+2 2,+ 4,)mn mn mn x mn T1 mn mn xxxx mn xxyy mn yyyy(18)+ (,+2 2,+ 4,) A , = 0mn xxxxx mn xxxyy mn xyyyy 应用内积的性质，式(18)可整理为mn mn100其中Amn ,T +mn Amn = 0(19)= i ( 1 11 1, dxdy + 2 2, dxdy +mnmn0

19、 0 mn xxxx mn0 0 mn xxyy mn1 1 4, dxdy ) + ( 1 1, dxdy + 2 2 1(mn mn mn mn x mn )0 0 mn yyyy mn0 0 mn xxxxx mn(20)1 1 1 1, dxdy + 4, dxdy )0 0 mn xxxyy mn0 0 mn xyyyy mn1 1 1 12 i dxdy + , dxdy0 0 0 0 对于给定的参数，数值计算均表明 mn 是正实数。将式(19)写成极坐标的形式Amn = amn(T1 ,T2 )ei mn (T1 ,T2 )(21)105其中 mn 和 mn 是 T1 和 T2

20、的实函数，分别对应于第 m 和 n 阶模态响应的幅值和相角。将式(21)代入(19)，导出amn ,T = mn amn ,mn ,T = 0.(22)从中可以解得1 1amn 0 mnT1amn = e, mn = mn0 .(23)110其中 mn0 和 mn0 是 T2 的待定函数。则式(21)的解可以写为 mnT1A= B emnmn(24)其中Bmn(T2 )= eamn 0 +i mn 0(25)将式(24)代入(16)，导出115 2 xxw ( x, y, T , T , T ) =( x, y ) B(T ) ei mnT0 mnT1 + cc(26)00 1 2 m =1

21、n =1mn mn 2这时，式(12)和(13)的所有特解均与(10)和(11)的解正交。因此，将式(26)与(12)和(13)的特解代入(14)，导出0 0 w2 ,T T+2 w2 ,xT+ ( 2 1) w ,+ (w2 ,xxxx+2 w ,42+ w ,2 xxyy2 yyyy ) =2 (i + , ) B, + 2 02 (,+2 2,(27)mn mn mn x mn T mn mn mn mn xxxx mn xxyy+ 4 ,) Bei mnT0 mnT1 + NST + ccmn yyyy mn其中 NST 是由式(12)和(13)产生的长期项。根据可解性条件导出120B

22、 , + 2 B= 0(28)mn T2其中mn mn= 1 1 dxdy ( 1 1, dxdy +mnmnmn 0 0 mn mn0 0 mn xxxx mn1 12 21 1, dxdy + 4, dxdy )(29)0 0 mn xxyy mn0 0 mn yyyy mn2 (i 1 11 1 dxdy + , dxdy )mn 0 0 mn mn0 0 mn x mn对于给定的参数，数值计算均表明 mn 是虚数。将式(28)写成极坐标的形式125Bmn = bmn(T2 ) ei mn (T2 )(30)其中 bmn 和 mn 是 T2 的实函数。将式(30)代入(28)，导出b ,

23、 = 0, , = 2 Im ()(31)这时，式(30)的解为mn T2mn T2 mn i 2 Im( mn )T2B= bemnmn0(32)130其中 bmn0 是由初始条件决定的常数。将式(32)代入(26)，导出 +w0 =其中 m =1 n =1mn bmn 0e mni(mn )VE T0 + cc(33)= ,( )= 2 2 Im ( ).(34)mnmnmn VEmnmn135实部 mn 代表面内平动黏弹性板线性自由振动的幅值随着时间的衰减率；虚部(mn)VE 代表其 频率。140145150图 2 考虑物质导数时参数 mn 和 mn 随着面内平动速度的变化情况Fig.

24、2 The parameters mn and mn vs in-plane translating speeds for the plate with material derivative若给定 =1、=1 和 =0.01，图 2 分别给出了考虑物质导数时参数 mn 和 mn 随着面内 平动速度的变化情况。从图中可以看出，参数 mn 随着面内平动速度的增大而增大，参数 mn 随着面内平动速度的增大先是稍微增大而后快速减小。图 3 分别给出了不考虑物质导数时参 数 mn 和参数 mn 随着面内平动速度的变化情况。从图中可以看出，参数 mn 随着面内平动速 度的增大先是稍微增大而后快速减小，参

25、数 mn 随着面内平动速度的增大而增大。图 3 不考虑物质导数时参数 mn 和 mn 随着面内平动速度的变化情况Fig. 3 The parameters mn and mn vs in-plane translating speeds for the plate without material derivative3数值验证为了检验直接多尺度方法的正确性，我们使用微分求积法对其进行数值验证。这里， 我们采用与 Tang 和 Chen11,12相同的非均匀网点布置。其相应的微分求积近似离散为& = 2N x 1A(1)& ( 2 1)Nx 1A% (2) N x 1A% (4)& 2m2 2

26、 2N x 1A% (2)&+ m4 4 4& ik = 2ik kk = 2ik k k = 2ik kk = 2ik k i N x 1 A% (4) 2m2 2 2N x 1A% (2)+ m4 4 4 Nx 1 A% (5) (35) k = 2ik kk = 2ik k i k = 2ik k2m2 2 2N x 1A% (3)+m4 4 4Nx 1A(1) (i = 2, 3,L, N 1)k = 2ik kk = 2ik k x155若给定 =1、=1 和 =0.01，对于一维简化模型，选取网点数 Nx=9。图 4 分别给出了不同方法下考虑物质导数时衰减系数和频率随着面内平动速度

27、变化情况的比较。实线代表直 接多尺度方法近似解析结果；黑点线代表一维简化模型的微分求积法数值结果。由图可见， 两种方法所得结果吻合的较好。图 5 分别给出了不同方法下不考虑物质导数时衰减系数和频 率随着面内平动速度变化情况的比较。实线代表直接多尺度方法近似解析结果；黑点线代表 一维简化模型的微分求积法数值结果。由图可见，两种方法所得结果吻合的非常好。精品论文160165170175180图 4 考虑物质导数时衰减系数和频率随着面内平动速度变化情况的比较Fig. 4 The attenuation coefficients and the frequency vs in-plane transl

28、ating speeds for the plate with material derivative图 5 不考虑物质导数时衰减系数和频率随着面内平动速度变化情况的比较Fig. 5 The attenuation coefficients and the frequency vs in-plane translating speeds for the plate without material derivative给定 =1、=1 和 =1，图 6 分别给出了不同方法下考虑物质导数时衰减系数和频率随 着黏弹性系数变化情况的比较。实线代表直接多尺度方法近似解析结果；黑点线代表一维简 化模型的

29、微分求积法数值结果。由图可见，两种方法所得结果吻合的较好。衰减系数与黏弹 性系数成正比关系。图 7 分别给出了不同方法下不考虑物质导数时衰减系数和频率随着黏弹 性系数变化情况的比较。实线代表直接多尺度方法近似解析结果；黑点线代表一维简化模型 的微分求积法数值结果。由图可见，两种方法所得结果吻合的非常好。图 6 考虑物质导数时衰减系数和频率随着黏弹性系数变化情况的比较Fig. 6 The attenuation coefficients and the frequency vs viscoelastic coefficients for the plate with material deriv

30、ative精品论文185190195图 7 不考虑物质导数时衰减系数和频率随着黏弹性系数变化情况的比较Fig. 7 The attenuation coefficients and the frequency vs viscoelastic coefficients for the plate without material derivative4结论本文给出了黏弹性阻尼对面内平动板横向振动频率的影响。分别运用直接多尺度方法和 微分求积法，计算了两种黏弹性本构关系板模型在四边简支边界条件下横向振动的固有频 率，比较了两种黏弹性本构关系对横向振动频率的影响。近似解析结果显示：考虑物质导数 时，

31、参数 mn 随着面内平动速度的增大而增大，参数 mn 随着面内平动速度的增大先是稍微 增大而后快速减小；不考虑物质导数时，参数 mn 随着面内平动速度的增大先是稍微增大而 后快速减小，参数 mn 随着面内平动速度的增大而增大。数值结果表明：微分求积法验证了 直接多尺度方法得到的近似解析结果。参考文献 (References)2002052102151 Ulsoy A G, Mote Jr C D. Vibration of wide band saw blades J. Journal of Engineering for Industry-ASME,1982, 104: 71-78.2 Le

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33、cceleration and force perturbations J. Applied Acoustics, 1995, 45: 47-59.4 Lin C C. Finite width effects on the critical speed of axially moving materials J. Journal of Vibration andAcoustics, 1998, 120: 633-634.5 Wang X. Numerical analysis of moving orthotropic thin plates J. Computers & Structure

34、s, 1999, 70: 467-486. 6 Kim J, Cho J, Lee U, Park S. Modal spectral element formulation for axially moving plates subjected to in-plane axial tension J. Computers & Structures, 2003, 81: 2011-2020.7 Banichuk N, Jeronen J, Neittaanmki P, Tunvinen T. On the instability of an axially moving elastic pla

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