高考数学总复习精品课件（苏教版）：第七单元第三节 等比数列.ppt

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1、第三节 等比数列,基础梳理,1. 等比数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示. 2. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比. 3. 等比中项 如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项.,4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mN*). (2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal= a

2、man. (3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列.,5. 等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即,6. 等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.,题型一 等比数列的基本运算 【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项. 分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=

3、1和q1两种情况讨论. 解 若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81. 将代入，得q=1+2a1. 又q0,qn=81,q1,an为递增数列. an=a1qn-1=27. 由、得q=3,a1=1,n=4. a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.,解析: a9+a10=a, a9(1+q)=a, 又a19+a20=b,a19(1+q)=b, 由 得 则a99(1+q)=x, 由 得 答案:,举一反三 1.(2

4、009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.,题型二 等比数列的判定 【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*). (1)求证：数列an+1是等比数列; (2)求通项公式an. 分析 利用等比数列的定义证明 为非零常数即可. 解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列. (2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,学后反思 等比数列的判定方法主要有： (1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)； (2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (3)中

5、项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).,举一反三 2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是,证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2 显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列. 必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得,题型三 等比数列的性质 【例3】 (1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值； (2)已知一个等比数列的前四

6、项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.,分析 (1)利用等比数列的性质求解. （2）注意4个数成等比数列的设法. 解 （1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 学后反思 在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.,举一反三 3. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a2

7、0的值. (2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析： （1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2， a17+a18+a19+a20=S424=124=16. （）a3a5=a24, a3a4a5=a34=8, a4=2. 又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32,题型四 等比数列的最值问题 【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比. (1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？,分析 （1）求出等

8、比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式. （2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.,解,当n=12时，f(n)有最大值为 学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.,举一反三 4. （2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nN*）. (1)判断an是何种数列，并给出证明； (2)若a8+a13=m,求b1b2b20; (3)若b3b5=3

9、9,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值. 解析: (1)证明:设bn的公比为q, bn=3an, 3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q, an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.,（2）a8+a13=m, 由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m. (3)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易错警示,【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项. （1）求 的通项公式; (2)求,错解(1)由已知得 , 又 ,得 , 两式相减得 ,故 , 又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比

10、数列， 故,错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列 an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.,正解(1)由已知，当n2时， . 又 , 由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列， 其中 ,即 , , 当n2时，,即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.,【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比,错解 依题意，设这四个数为 , ,aq, , 则 , , 由得 ,代入并整理，得 解

11、得 或 故原等比数列的公比为 或,错解分析 从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题 过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里. 正解 依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3, 则 解得 或,考点演练,10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求,解析： 由等比数列性质得， , , , 成等比数列， 则 由 得 ,又 解得,11. (2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值； （2）若 ，求n的值.,解析 (1) ,解得 (

12、2)由 ,得 n=10.,12. (2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列； （2）求数列 的通项公式.,解析： (1)由 及 ,得 ,即 , , 当n2时， . -得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.,（2）由(1)可得 =3 , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即,第三节 圆的方程,基础梳理,1. 圆的标准方程 （1）方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为 ,半径为 r 的圆的标准方程. （2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 .,2. 圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F

13、=0可变形为(x+ )2+(y+ )2= .故有：（1）当D2+E2-4F0时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆;,(a,b),x2+y2=r2,3. 点与圆的位置关系 对于平面上的任意一点M(x0,y0)和一个圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2, 点M与圆C的位置关系及判断方法如下： （1）点M在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2; (2)点M在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (3)点M在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2.,4. 求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：,（2）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(- ,- );

14、 (3)当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形.,典例分析,题型一 求圆的方程,【例1】求过两点A(1,4)、B（3，2）且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.,分析 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标与圆的半径的大小;而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.,（1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D，E，F的方程组； （3）解出a，b，r或D，E，F,代入标准方程或一般方程.,（1-a)2+16=r2， a=-

15、1, (3-a)2+4=r2， 解得 r2=20. 所求圆的方程为（x+1)2+y2=20. 方法二：设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆心在x轴上，则 =0,即E=0.又圆过A（1,4）和B（3,2），所以 D+17+F=0, 解得 D=2, 3D+13+F=0, E=0, F=-19. 所以圆的方程为x2+y2+2x-19=0.,解 方法一：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆心在y=0上，b=0,圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点,方法三：因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段 AB的垂直平分线l

16、上.又因为kAB= =-1,故l的斜率为1. 又AB的中点为（2，3）， 故AB的垂直平分线l的方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0. 又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为(-1,0), 所以半径r=AC= . 故所求圆的方程为（x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为 d=PC= =5r,所以点P在圆外.,学后反思 （1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其 中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是 结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几 何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几 何问题中，能用上平面几何知识

17、，会使解题变得相对简单. (2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的 量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定 点与圆的位置关系.,举一反三 1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.,解析: 因为圆经过点A(5,2),B(3,2),所以圆心在x=4上;又圆心在2x-y-3=0上，所以可得圆心为（4，5）. 可设圆的方程为 ,又圆过B(3,2)， 所以 ,即r2=10. 故圆的方程为,题型二 与圆有关的参数问题,【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点A(1,2),要使过定点A的圆的切

18、线有两条.求实数a的取值范围.,分析 (1)方程表示圆，则D2+E2-4F0,即a2+4-4a20. (2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外. 解 已知x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆， 则应满足a2+4-4a20,即4-3a20, 又A应在圆外，有12+22+a+22+a20,即 a2+a+90, 由,得- a . 故a的取值范围是(- , ).,学后反思 （1）一般地，方程表示圆隐含着条件D2+E2-4F0， 此点易被忽视. （2）点(x0,y0)在x2+y2+Dx+Ey+F=0外，x02+y02+Dx0+Ey0+F0.,答案： -3,举一反三 2. (2009福州模拟)圆 与

19、y轴交于A、B两点，其圆心为P，若APB=90,则实数c=.,解析： 圆的方程可化为 ,5-c0. P(2,-1),又APB=90,PA=PB, 2=PBsin 45, PB=22. 5-c=8,c=-3.,题型三 与圆有关的最值问题,【例3】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值； （2）求y-x的最大值和最小值； （3）求x2+y2的最大值和最小值.,解 原方程可化为（x-2）2+y2=3,表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆.,分析 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.,（1） 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设 =k,即

20、y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此 时 ,解得k= .(如图1） 所以yx的最大值为 ,最小值为- . (2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ,解得b=-2 .（如图2） 所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .,(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识 知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. （如图3） 又圆心到的原点的距离为 . 所以x2+y2的最大值是（2+ ）2=7+4 , x2+y2的最小值是（2- ）2=7-4,学后反思 （1）本例中

21、利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解决，这是数形巧妙结合的好处. （2）本例的解题关键在于能否抓住“数”中的某些结构特征，从而联想到解析几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数”的几何意义，实现由“数”到“形”的转化.,(3)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： 形如=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； 形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； 形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.,举一反三,3.已知圆C：（x-3）2+(y-4)2=1,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点

22、，求d=PA2+PB2的最大值、最小值及对应的点P坐标.,解析 设P(x0,y0),则d=PA2+PB2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02 =2(x02+y02)+2.欲求d的最值，只需求=x02+y02的最值，即求圆 C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆 的两个交点P1，P2即为所求. 设过O,C两点的直线交圆C于P1，P2两点，易知OC所在直线方程 为y= x，则min=(OC-1)2=16=OP12, 此时dmin=216+2=34,并易得P1( ); max=(OC+1)2=36=OP22, 此时dmax=236+2=74,并易得P2( ).,题型四

23、 圆的方程的实际应用 【例4】(14分）在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将受台风影响？持续多长时间？,分析 几小时后气象台所在地受到台风影响，就是指以台风中心为圆心的圆何时开始经过该城市，持续多长时间即为台风圆何时离开.建立直角坐标系，用时间变量t表示出B点坐标，进而求解.,解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.根据题意可知,t小时后，B的坐标为 （-300+40

24、tcos 45,40tsin 45）,(300+202t,202t）.3 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受台风影响，所以气象台A在圆上或圆内时，将受台风影响. 所以令AB250,即（-300+202t2+(202t)22502,7 整理得16t2-1202t+2750,.10 解得152-574t152+57412 故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.14,学后反思 在解决有关实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.,举一反三 4. 有一种大型商品，A、B两地都有出售

25、，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在的方程的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？,解析: 如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.AB=10, A(-5,0),B(5,0). 设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里). 当由P地到A、B两地购物费用相等时，即价格+A地运费=价格+B地运费， 化简整理，得 (1)当

26、P点在以 ,0为圆心、154为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等，此时到A地或B地购物均可.,（2）当P点在上述圆内时， .此时到A地购物合算. （3）当P点在上述圆外时， .此时到B地购物合算.,考点演练,10. (2009天津)若圆 与圆 （a0）的公共弦的长为 ,求a的值.,解析： 易知 的半径为 ，画图可知 ,解得a=1.,11. （2010济南模拟）两圆 和 相交于PQ两点，若点P的坐标是(1,2),求点Q的坐标.,解析： 由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为 (-1,1),(2,-2),则过它们圆心的直线方程为 ,即y=-x，根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故由P(1,2)可得它关于直线y=-x的对称点,即点Q的坐标为(-2,-1).,12. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为 的圆的方程.,解析: 设所求的圆的方程是 则圆心(a,b)到直线y-x=0的距离为 ,即 . 所求的圆与x轴相切， . 又圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0. 联立得：a=1,b=3, 或a=-1,b=-3, , 所求圆的方程为 或,