《2020版数学人教A版必修5学案：第二章 2.4 第1课时 等比数列的概念及通项公式 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修5学案：第二章 2.4 第1课时 等比数列的概念及通项公式 Word版含解析.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.4 等比数列 等比数列 第第 1 课时 等比数列的概念及通项公式课时 等比数列的概念及通项公式 学习目标 1.通过实例， 理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数 列的通项公式并了解其推导过程 知识点一 等比数列的概念 1定义 ： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0) 2递推公式形式的定义：q(n1). an an1 (或 an1 an q，n N * ) 3等比数列各项均不能为 0. 知识点二 等比中项与等差中项的异同 对比项等差中项等比中项 定义 若
2、 a，A，b 成等差数列，则 A 叫 做 a 与 b 的等差中项 若 a， G， b 成等比数列， 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项 定义式AabA G a b G 公式Aab 2 G ab 个数a 与 b 的等差中项唯一a 与 b 的等比中项有两个，且互为相反数 备注任意两个数 a 与 b 都有等差中项只有当 ab0 时，a 与 b 才有等比中项 知识点三 等比数列的通项公式 若等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 ana1qn1(nN*) 1若 an1qan，nN*，且 q0，则an是等比数列( ) 2任何两个数都有等比中项( ) 3等比数列 1，中，第 10 项为.( ) 1
3、2 1 4 1 8 1 29 4常数列既是等差数列，又是等比数列( ) 题型一 等比数列的判定 命题角度 1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例 1 判断下列数列是否为等比数列 (1)1,3,32, 33，3n1，； (2)1,1,2,4,8，； (3)a1，a2，a3，an，. 解 (1)记数列为an，显然 a11，a23，an3n1，. 3(n2，nN*)， an an1 3n1 3n2 数列为等比数列，且公比为 3. (2)记数列为an，显然 a11，a21，a32， 12，此数列不是等比数列 a2 a1 a3 a2 (3)当 a0 时，数列为 0,0,0，是常数列，不是等比数列；
4、当 a0 时，数列为 a1，a2，a3，a4，an，显然此数列为等比数列，且公比为 a. 反思感悟 判定等比数列，要抓住 3 个要点： 从第二项起要判定每一项，不能有例外每一项与前一项的比是同一个常数，且不 能为 0. 跟踪训练 1 下列各组数成等比数列的是( ) 1，2,4，8；，2，2，4；x，x2，x3，x4；a1，a2，a3，a4.22 A B C D 答案 C 解析 显然是等比数列；由于 x 可能为 0，不是； a 不能为 0，符合等比数列定义，故是 命题角度 2 已知递推公式判断是否为等比数列 例 2 已知数列an满足 a11，an12an1. (1)证明：数列an1是等比数列；
5、(2)求数列an的通项公式 (1)证明 an12an1， an112(an1) 由 a11，知 a110，从而 an10. 2(nN*) an11 an1 数列an1是等比数列 (2)解 由(1)知an1是以 a112 为首项，2 为公比的等比数列 an122n12n. 即 an2n1. 反思感悟 等比数列的判定方法 (1)定义法：q(n2，q 是不为 0 的常数)an是公比为 q 的等比数列 an an1 (2)等比中项法：a an1an1(n2，an，an1，an1均不为 0)an是等比数列 2 n 跟踪训练 2 数列an满足 a11，且 an3an12n3(n2,3，) (1)求 a2，
6、a3，并证明数列ann是等比数列； (2)求数列an的通项公式 解 (1)a23a12234， a33a223315. 又 a112， 3(n1,2,3，) an1n1 ann 3an2n13n1 ann 3an3n ann 数列ann是以2 为首项，3 为公比的等比数列 (2)由(1)知 ann23n1，ann23n1. 题型二 等比数列通项公式的应用 例 3 在等比数列an中 (1)已知 a24，a5 ，求 an； 1 2 (2)已知 a3a636，a4a718，an ，求 n. 1 2 解 (1)设等比数列的公比为 q，则Error! 解得Error! ana1qn1(8) n1n4.
7、( 1 2) ( 1 2) (2)设等比数列an的公比为 q. a4a7a3qa6q(a3a6)q，q . 18 36 1 2 a4a718，a4(1q3)18. a416，ana4qn416 n4. ( 1 2) 由 16 n4 ，得 n45，n9. ( 1 2) 1 2 反思感悟 等比数列通项公式及应用应注意两点 (1)a1和 q 是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出 (2)等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另外一个 跟踪训练 3 在等比数列an中： (1)已知 a13，q2，求 a6； (2)已知 a320，a6160，
8、求 an. 解 (1)由等比数列的通项公式得，a63(2)6196. (2)设等比数列的公比为 q， 则Error!解得Error! 所以 ana1qn152n1，nN*. 方程的思想在等比数列中的应用 典例 1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四 个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数 考点 等比数列的性质 题点 等比数列的性质的其他应用问题 解 方法一 设这四个数依次为 ad，a，ad， ad2 a 由条件得Error! 解得Error!或Error! 所以当 a4，d4 时，所求的四个数为 0,4,8,16； 当 a9，d6 时
9、，所求的四个数为 15,9,3,1. 故所求的四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 方法二 设这四个数依次为a，a，aq(q0)， 2a q a q 由条件得Error! 解得Error!或Error! 当 a8，q2 时，所求的四个数为 0,4,8,16； 当 a3，q 时，所求的四个数为 15,9,3,1. 1 3 故所求的四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 典例 2 设四个实数依次成等比数列，其积为 210，中间两项的和是 4，则这四个数为多少？ 解 设这四个数依次为 ，a，aq，aq2(q0)， a q 根据题意得Error! 解得 q2 或 ， 1 2
10、当 q2 时，a4， 所求四个数依次为 2，4,8，16. 当 q 时，a8， 1 2 所求四个数依次为16,8，4,2， 综上，这四个数依次为 2，4,8，16 或16,8，4,2. 素养评析 (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个 数成等比数列的设元技巧： 若三个数成等比数列，可设三个数为 ，a，aq 或 a，aq，aq2(q0) a q 若四个数成等比数列，可设为 ，a，aq，aq2或，aq，aq3(q0) a q a q3 a q (2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养. 1等比数列an的公比|q|1，an
11、中有连续四项在集合54，24，18,36,81中则 q 等于( ) A B. C D. 1 2 1 2 3 2 3 2 答案 C 解析 an中的项必然有正有负， q0，且 a1a21，a3a49，则 a4a5的值为( ) A16 B27 C36 D81 答案 B 解析 a1a21，a3a49，q29. q3(q3 舍去)，a4a5(a3a4)q27. 5已知 a，b，cR，如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么( ) Ab3，ac9 Bb3，ac9 Cb3，ac9 Db3，ac9 答案 B 解析 b2(1)(9)9 且 b 与首项1 同号， b3，且 a，c 必同号acb29. 6在等比数列
12、an中，a11，公比|q|1.若 ama1a2a3a4a5，则 m 等于( ) A9 B10 C11 D12 答案 C 解析 在等比数列an中，a11，ama1a2a3a4a5a q10q10.ama1qm1qm1， 5 1 m110，m11. 7已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 yx22x3 的顶点是(b，c)，则 ad 等于( ) A3 B2 C1 D2 答案 B 解析 y(x1)22，b1，c2. 又a，b，c，d 成等比数列，adbc2. 二、填空题 8在等比数列an中，若 a33，a10384，则公比 q . 答案 2 解析 a3a1q23，a10a1q9384，两式相除得，
13、q7128，所以 q2. 9在 160 与 5 中间插入 4 个数，使它们同这两个数成等比数列，则这 4 个数依次 为 答案 80,40,20,10 解析 设这 6 个数所成等比数列的公比为 q，则 5160q5，q5，q . 1 32 1 2 这 4 个数依次为 80,40,20,10. 10若an为等比数列，且 a3a44，a22，则公比 q . 答案 1 或2 解析 根据题意，代入公式Error! 解得Error!或Error! 11在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思今共有粮 98 石，甲、乙、丙按序 衰分，乙分得 28 石，则衰分比例为 答案 1 2 解析 设衰分比例为 q，则
14、甲、乙、丙各分得，28,28q 石， 28 q 2828q98，q2 或 . 28 q 1 2 又 0q1，q . 1 2 三、解答题 12已知数列an的前 n 项和 Sn2an1，求证：an是等比数列，并求出通项公式 解 Sn2an1， Sn12an11. an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an. an12an， 又S12a11a1，a110， 又由 an12an知 an0， 2，an是首项为1，公比为 2 的等比数列 an1 an an12n12n1. 13已知各项都为正数的数列an满足 a11，a (2an11)an2an10. 2 n (1)求 a2，a3； (2)求
15、an的通项公式 解 (1)由题意可得 a2 ，a3 . 1 2 1 4 (2)由 a (2an11)an2an10，得 2 n 2an1(an1)an(an1) 因为an的各项都为正数， 所以 . an1 an 1 2 故an是首项为 1，公比为 的等比数列， 1 2 因此 an，nN*. 1 2n1 14如图给出了一个“三角形数阵” ，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等 比数列，而且每一行的公比都相等，记第 i 行第 j 列的数为 aij(i，jN*)，则 a53的值为( ) 1 4 ， 1 2 1 4 ， 3 4 3 8 3 16 A. B. C. D. 1 16 1 8 5
16、 16 5 4 答案 C 解析 第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以 a51 (51) .又因为从第三 1 4 1 4 1 4 1 4 5 4 行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第 5 行构成首项为 ，公比为 的 5 4 1 2 等比数列，所以 a53 2 . 5 4 ( 1 2) 5 16 15在各项均为负数的数列an中，已知 2an3an1，且 a2a5. 8 27 (1)求证：an是等比数列，并求出其通项公式； (2)试问是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由 16 81 解 (1)2an3an1， . an1 an 2 3 又数列an的各项均为负数，a10， 数列an是以 为公比的等比数列 2 3 ana1qn1a1 n1， ( 2 3) a2a1 21 a1， ( 2 3) 2 3 a5a1 51 a1， ( 2 3) 16 81 又a2a5 a1a1， 2 3 16 81 8 27 a .又a10，a1 . 2 1 9 4 3 2 an n1n2(nN*) ( 3 2) ( 2 3) ( 2 3) (2)令 an n2 ， ( 2 3) 16 81 则 n24，n6N*， 是这个等比数列中的项，且是第 6 项 16 81