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1、功平衡法和上限法及其应用,9.1 功平衡法 9.2 极值原理及上限法 9.3 速度间断面及其速度特性 9.4 Johnson上限模式及应用 9.5 Aviztur上限模式及应用,9.1 功平衡法,功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原 理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功 法。 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位 移方向上所作的外部功（WP）等于物体塑性变形 所消耗的应变功（Wd）和接触摩擦功（Wf）之 和，即 WP = Wd + Wf 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形 式 dWP = dWd + dWf,极值原理包括上限定理和下限定理，它们都是根据虚功原理和最大塑性功耗原理
2、得出的，但各自分析问题的出发点不同。 上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近似值，故称上限解； 下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即高低的近似解，故称下限解。,9.2 极值原理及上限法,稳定平稳状态的变形体中，当给予变形体一几何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移）时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功），必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚
3、应变功，其表达式为： 实际应用常用功率形式表达,虚功原理,虚功原理,式中，左边为外力所作虚功或虚功率，右边 第一项为虚应变功耗或虚应变功率消耗，第二 项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消 耗等。（ 为所在界面上的相对滑动速度）。 第三项为裂纹形成等的功耗或功率消耗。虚功 原理对于弹性变形、弹塑性变形或塑性变形力 学问题都是适用的。,到目前为止，上限法中虚拟的运动学许可速度场模式大体有三种模式： （1）Johnson模式，通常称为简化滑移线场的刚性三角形上限模式，主要适用于平面应变问题。 （2）Avitzur模式，通常称为连续速度场的上限模式，它既可适用平面应变问题、轴对称问题，也可用于某些
4、三维问题，用途比较广泛。 （3）上限单元技术（UBET），目前比较实用的是圆柱坐标系的圆环单元技术。它可用于解轴对称问题，以及某些非对称轴的三维问题。 具体实例在硕士阶段将详细分析。,虚拟的运动学许可速度场模式,9.3 速度间断面及其速度特性,(1),(2),A,v2,v1,x,x,A,B,C,D,H,图9-4 速度间断面上的速度间断 a）物理平面 b）速度图,9.4 Johnson上限模式及应用,基本思路是设想塑性变形区由若干个刚性三角形构成，塑性变形时完全依靠三角形场间的相对滑动产生，变形过程中每一个刚性块是一个均匀速度场，块内不发生塑性变形，于是块内的应变速度。因此，式（9-6）的能量基
5、本方程中，若不计附加外力及其他功率消耗的话，其塑性变形功率消耗部分也为零，则上限功率表达式变为：,Johnson上限模式求解的基本步骤,根据变形的具体情况，或参照该问题的滑移线场，确定变形区的几何位置与形状，再根据金属流动的大体趋势，将变形区划分为若干个刚性三角形块； 根据变形区划分刚性三角形块情况，以及速度边界条件，绘制速端图；,Johnson上限模式求解的基本步骤,3.根据所作几何图形，计算各刚性三角形边长及速端图计算各刚性块之间的速度间断量，然后计算其剪切功率消耗； 4.求问题的最佳上限解，一般划分的刚性三角形块时，几何形状上包含若干个待定几何参数，所以须对待定参数求其极值，确定待定参数
6、的具体数值以及最佳的上限解。,9.5 Aviztur上限模式及应用,基本思路：B. Avitzur上限模式为连续速度场模式，其基本思路是把整个变形区内金属质点的流动用一个连续速度场vi = fi(x, y, z)来描述。同时考虑塑性区与刚性区界面上速度的间断性及摩擦功率的影响。因此Avitzur上限模式的基本能量方程与式（9-4）是一致的，常简化为 N = Nd + Nt + Nf + Nq,式中， 为塑性变形功率消耗 为速度间断面上剪切功率消耗 为接触面上摩擦功率消耗 为附加外力消耗的（取“+” 号）或向系统输入的附加功率（取“-”号）,应用范围,一、直角坐标平面应变问题 考虑侧鼓时板坯的平锤压缩 二、极坐标平面应变问题 宽板的平辊轧制 三、圆柱坐标轴对称问题圆盘的镦粗 四、球坐标轴对称问题圆棒的拉拔或挤压,