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1、教案 ：平面向量的数量积第二课时 教学目的： 1掌握平面向量数量积运算规律； 2能利用数量积的5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决 一些简单问题 教学重点： 平面向量数量积及运算规律 教学难点： 平面向量数量积的应用 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析 ： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律， 引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 教学过程 ： 一、复习引入： 1两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b，作OAa，OBb，
2、则（ ）叫a与b的夹角 2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b ，它们的夹角是 ，则数量 |a|b|cos 叫a与b的数量积， 记作ab，即有ab= |a|b|cos ， （ ） 并规定0与任何向量的数量积为0 3 “投影”的概念：作图 定义： |b|cos 叫做向量 b在a方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为 C 负值；当 为直角时投影为0；当 = 0 时投影为|b|；当 = 180 时投影为 |b| 4向量的数量积的几何意义： 数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影 |b|cos 的乘积 5两个向量的数量积的性质： 设a、b为
3、两个非零向量，e是与b同向的单位向量 1 e a = a e =|a|cos ；2abab= 0 3 当a与b同向时， a b= |a|b|；当a与b 反向时，a b= |a|b| 特别的a a= |a| 2 或|aa a 4 cos = | a b ab ；5 |ab| |a|b| 6判断下列各题正确与否： 1 若a= 0，则对任一向量b，有ab= 0( ) 2 若a0，则对任一非零向量b，有ab 0( 3) 3 若a0，ab= 0，则b=0( 3) 4 若ab= 0，则a、b至少有一个为零( 3) 5 若a0，ab= a c，则b= c( 3) 6 若ab= a c，则b= c当且仅当 a
4、 0时成立( 3) 7 对任意向量a、b、c，有 (ab)ca(bc)( 3) 8 对任意向量a，有 a 2 = | a| 2 ( ) 二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1交换律：ab= ba 证：设 a，b夹角为 ，则ab = |a|b|cos ，b a = |b|a|cos ab= ba 2数乘结合律：(a)b=(ab) = a(b) 证：若 0，(a)b =|a|b|cos ，(ab) =|a|b|cos ，a(b) =|a|b|cos ， 若 0，(a)b =|a|b|cos() = |a|b|( cos ) =|a|b|cos ， (ab) =|a|b|cos ， a(b) =
5、|a|b|cos() = |a|b|( cos ) =|a|b|cos 3分配律： (a+ b)c= ac + bc 在平面内取一点O，作OA= a, AB= b，OC=c， a+ b（即OB）在c方向上的投影等于 a、b在c方向上的投影和， 即|a+ b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 | c| |a+ b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2 c(a+ b) = c a+ cb即： (a+ b)c= a c+ bc 说明：（1）一般地， (a2b)ca（b2c） （2）a2cb2c，c0 ab （3）有如下常用性质：a a ， （ab）
6、（cd）a2ca2db2cb2d (ab) a a2bb 三、讲解范例： 例 1 已知a、b都是非零向量， 且a + 3b与 7a 5b垂直，a 4b与 7a 2b垂直，求 a与b的夹角 解：由 (a + 3b)(7a 5b) = 0 7a 2 + 16 ab15b 2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a 2 30ab+ 8b 2 = 0 两式相减： 2a b= b 2 代入或得：a 2 = b 2 设a、b的夹角为，则 cos = 2 2 1 2|2| a bb abb = 60 例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解：如图：ABCD 中，ABDC，AD
7、BC，AC=AB AD |AC|2= 22 2 |2ABADABADAB AD 而BD= ABAD |BD|2= 22 2 |2ABADABADAB AD |AC| 2 + | BD| 2 = 2 22 2ABAD= 2222 |ABBCDCAD 例 3 四边形ABCD中，ABa，BCb，CDc，DAd，且a2b b2 cc2dd2a，试问四边形ABCD是什么图形 ? 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四 边形的边角量 解：四边形ABCD是矩形，这是因为： 一方面：abcd0， ab（cd） ， (ab) （cd） 即a a2bb c c2 dd 由于a2bc2d，
8、 a b c d 同理有a d c b 由可得ac，且bd即四边形ABCD两组对边分 别相等 四边形ABCD是平行四边形 另一方面， 由a2bb2c，有b（ac）， 而由平行四边形ABCD 可得ac，代入上式得b2 (2a) 即a2b，ab也即ABBC 综上所述，四边形ABCD是矩形 评述： (1) 在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则 其和向量是零向量，即abcd0，应注意这一隐含条件应用； (2) 由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含 有边、角两种关系 四、课堂练习： 1 下列叙述不正确的是（） AB C Da2b是一个实数 2 已知 |a|=
9、6,|b|=4,a与b的夹角为，则(a+2b) 2 (a-3b) 等于 （） A72 B-72 C36 D-36 3 |a|=3,|b|=4, 向量a+ 4 3 b与a- 4 3 b的位置关系为（ ） A平行B C夹角为 3 D不平行也不垂直 4 已知 |a|=3,|b|=4, 且a与b的夹角为150，则 (a+b) 5 已知 |a|=2,|b|=5,a2b=-3, 则|a+b|=_,|a-b|= 6 设|a|=3,|b|=5, 且a+b与ab垂直，则 参考答案： 1 C 2 B 3 B 4 +23 5 3523 6 5 3 五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两
10、个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5 个重要性质解决相关问题 六、课后作业 1 已知 |a|=1,|b|= 2, 且(a-b ) 与a垂直，则a与b的夹角是（） A60B30C135D 2 已知 |a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为 3 ， 那么向量ma-4b的模为（） A2 B23 C6 D12 3 已知a、b是非零向量，则|a|=|b| 是(a+b) 与(a-b) 垂直的（） A充分但不必要条件B C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 已知向量 a、b的夹角为 3 ，| a|=2,|b|=1, 则|a+b| 2 |a-b|= 5 已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16
11、j, 其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴 正方向上的单位向量，那么a2b= 6 已知ab、c与a、b的夹角均为60，且 |a|=1,|b|=2,| c|=3, 则 (a+2b-c) _ 7 已知 |a|=1,|b|=2,(1) 若ab, 求a2b;(2) 若a、b的夹角为， 求|a+b|(3) 若a-b与a垂直，求a与b的夹角 8设m、n是两个单位向量， 其夹角为，求向量 a =2m+n与b=2n-3m 的夹角 9对于两个非零向量 a、b，求使 |a +tb|最小时的t 值，并求此时 b与a+tb的 夹角 参考答案： 1 D 2 B 3 C 4 21 5 63 6 11 7 (1)- 2 (2
12、) 23 (3)45 8 120 9 90 七、板书设计（略） 八、课后记及备用资料： 1常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方 和( 差) 公式在解题中的应用较为广泛 即(ab) a a2bb ， （ ab） a a2bb 上述两公式以及(ab)(ab) a b 这一类似于实数平方差的公 式在解题过程中可以直接应用 2应用举例 例 1 已知 a， b，a2b， 求ab，ab 解：ab （ ab） a a2bb 3（） ab23，（ab） （ ab） a 2 a2bb 2 23（ 3）3 35， ab 35 例 2 已知a 8，b 10，ab 16，求a与b的夹角 ( 精确 到 ) 解： （ab） （ ab） a 2a2bb a 2 a2 b b 33 ， 40 23 ，