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1、3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法,目标导航,新知导学,课堂探究,1.一元二次不等式 只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,叫做一元二次不等式.,新知导学素养养成,思考1:不等式ax2+5x+10是关于“x”的二次不等式吗? 答案:不等式ax2+5x+10不一定是一元二次不等式,当a=0时,它是一元一次不等式;若题目中给出的条件是“一元二次不等式ax2+5x+10”,则隐含的条件是a0.,一个,2,2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,思考2:若方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=3,那么不等式ax2+bx+ c0(
2、a0)的解集是x|x3吗? 答案:不一定.当a0时,其解集为x|x3;当a0时,其解集为x|1 x3.,名师点津,从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)函数的角度:一元二次不等式ax2+bx+c0表示二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0,图象在x轴的上方;一元二次不等式ax2+bx+c0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围.,(2)方程的角度:一元二次不等式ax2+bx+c0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,课堂探究素养提升,题型一 解不含参数的一元二次不等式,例1求下列一元二次不等式的解集. (1)9x2-6x+10;,解:(2)由-x2+
3、2x3得x2-2x+30得(x-1)20, 方程(x-1)2=0的根为x=1, 所以不等式x2-2x+10的解集为x|x1.,(2)-x2+2x3; (3)x2-2x+10.,方法技巧,解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.,(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程根的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.,即时训练1-1:求下列一元二次不等式的解集. (
4、1)x2-5x6; (2)x2-6x+90; (3)-x2+2x+80.,解:(1)由x2-5x6,得x2-5x-60.因为x2-5x-6=0的两根是x=-1或6, 所以原不等式的解集为x|x6. (2)由x2-6x+90得(x-3)20,所以原不等式的解集为x|x=3. (3)原不等式可化为x2-2x-80, 所以方程x2-2x-8=0有两个不等实根x1=-2,x2=4, 所以原不等式的解集为x|-2x4.,备用例1(1)已知集合M=x|x2-3x-280,N=x|x2-x-60,则MN为( ) (A)x|-4x3 (D)x|x-2或x3,解析:(1)因为M=x|x2-3x-280=x|-4
5、x7, N=x|x2-x-60=x|x3, 所以MN=x|-4x-2或3x7.故选A.,(2)函数y=lg(x2-4)+ 的定义域是( ) (A)(-,-2)0,+) (B)(-,-6(2,+) (C)(-,-20,+) (D)(-,-6)2,+),题型二 解含参数的一元二次不等式,例2解关于x的不等式:ax2+(1-a)x-10.,规范解答:原不等式可化为(x-1)(ax+1)0. (1)当a=0时,原不等式为x-10, 所以解集为x|x1.,方法技巧,解含参数的一元二次不等式时要对参数分类讨论 (1)讨论二次项系数,按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类;,(2)讨论根的判别式
6、0,=0,0; (3)讨论根的大小.讨论顺序可简记为“一a,二,三两根大小”.,即时训练2-1:解关于x的不等式x2-2ax-8a20.,解:不等式x2-2ax-8a24a,即a0时,则-2a0时,原不等式解集为x|-2ax4a.,备用例2(1)解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30.,解:(1)将不等式x2-(a+a2)x+a30变形为(x-a)(x-a2)0. 因为a2-a=a(a-1), 所以当a1时,aa2. 当0a. 当a=0或1时,解集为x|xR且xa. 综上知,当a1时,不等式的解集为x|xa2; 当0a; 当a=0或1时,不等式的解集为x|xR或xa.,(2)解关于x的不
7、等式2x2+kx-k0.,题型三 可化为一元二次不等式的简单分式不等式,方法技巧,即时训练3-1:(2019临沂高二检测)不等式 3的解集是 .,备用例3(1)(2019广东深圳摸底)不等式 x-1的解集是( ) (A)(-,-1)(1,3 (B)-1,1)3,+) (C)1,3) (D)(-,1(3,+),(1)解析:当x-10,即x1时,不等式可化为4(x-1)2,即x-1-2或x-12,解得x-1或x3.故此时的解集为x|x3. 当x-10,即x1时,不等式可化为4(x-1)2, 即-2x-12,解得-1x3. 故此时的解集为x|-1x1. 综上,不等式的解集为-1,1)3,+).故选B
8、.,(2)(2019齐鲁名校调研)函数y=ln( -1)的定义域为( ) (A)(0,1) (B)(1,+) (C)(-,0)(1,+) (D)(-,1),题型四 易错辨析忽略二次项系数的符号致误,例4解不等式-6x2-x+20.,纠错:没有注意到二次项系数小于0这个情况,此时应先把二次项系数化为正数,再进行求解.,学霸经验分享区,(1)对于一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0)的求解,要善于联想两个方面的问题:二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点及图象.,方程ax2+bx+c=0的根. (2)含有参数的不等式的求解,要注意按某一恰当的分类标准进行 讨论.,课堂达标
9、,解析:解不等式得-1x0.故选D.,D,1.不等式x(x+1)0的解集为( ) (A)-1,+) (B)-1,0) (C)(- ,-1 (D)-1,0,2.不等式 0的解集为( ) (A)(1,+) (B)(-,-2) (C)(-2,1) (D)(-,-2)(1,+),C,解析:原不等式化为(x-1)(x+2)0,解得-2x1, 所以原不等式的解集为(-2,1).故选C.,3.不等式2xx2+1的解集为( ) (A) (B)R (C)x|x1 (D)x|x1或x-1,B,解析:2xx2+1x2-2x+10(x-1)20, 所以xR.故选B.,4.不等式x2-ax-12a20(其中a0)的解集为 .,解析:方程x2-ax-12a2=0的两根为4a,-3a, 且4a-3a, 所以所求不等式的解集为x|4ax-3a.,答案:(4a,-3a),5.(2019辽宁大连检测)不等式 1的解集为 .,点击进入 课时作业,