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1、第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法学习目标1.运用向量的有关知识解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.会用平面向量知识解决几何问题的两种方法向量法和坐标法.3.通过本节的学习,体验向量在解决几何问题中的工具作用,培养创新精神. 合作学习一、设计问题,创设情境问题1:若O为ABC重心,则OA+OB+OC= .问题2:水渠横断面是四边形ABCD,DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为.二、信息交流,揭示规律问题3:(1)向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么
2、体会?(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.三、运用规律,解决问题【例1】证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知:平行四边形ABCD.求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:(1);(2);(3).【例2】如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,DC边的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR,RT,TC之间的关系吗?四、变式演练,深化提高练习:在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种
3、现象吗?编题不只是教师的专利.请自己编题,并且加以解决.五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本P113习题2.5A组第1,2题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:OA+OB+OC=0问题2:等腰梯形二、信息交流,揭示规律问题3:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来,例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图,平行四边行ABCD中,设AB=a,AD=b,则AC=AB+BC=a+b(平移),DB=AB-AD=a-b,AD2=b2=|AD|2(长度).向量AD,AB的夹角为DAB.因此,可用向量方法解
4、决平面几何中的一些问题.三、运用规律,解决问题【例1】证明:不妨设AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b,|AB|2=|a|2,|AD|2=|b|2.得|AC|2=ACAC=(a+b)(a+b)=aa+ ab+ba+bb=|a|2+2ab+|b|2.同理|DB|2=|a|2-2ab+|b|2.+得|AC|2+|DB|2=2(|a|2+|b|2)=2(|AB|2+|AD|2).所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运
5、算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.【例2】解:设AB=a,AD=b,则AC=a+b.由AR与AC共线,因此,存在实数m,使得AR=m(a+b).又由BR与BE共线,因此存在实数n,使得BR=nBE=n(12b- a).由AR=AB+BR=AB+nBE,得m(a+b)=a+n(12b-a).整理得(m+n-1)a+(m-12n)b=0.由于向量a,b不共线,所以有m+n-1=0,m-12n=0,解得m=13,n=23,所以AR=13AC.同理TC=13AC.于是RT=13AC.所以AR=RT=TC.四、变式演练,深化提高练习:解:不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则以及直角三角形,可以得到|F1|=|G|2cos2.通过上面的式子我们发现,当由0180逐渐变大时,2由090逐渐变大,cos2的值由大逐渐变小,因此,|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.