2010年高考排列组合问题的分类与分步.pdf

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1、2010年高考排列组合问题的分类与分步 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略; 能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高 学生解决问题分析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组 合问题 . 教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类 计数原理。 完成一件事，有 n类办法，在第 1类办法中有 m 1种不同的方法，在第 2类办法中有 m2 种不 同的方法， ，在第 n类办法中有 m n种不同的 方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法 12n N=m +m+m 复习巩固 1. 分类计数原理 ( 加法原理 ) 完成一件事，需要分成 n个步骤，做第 1步有 m 1种不同的方法，做

2、第 2步有m2 种不同的方 法，做第 n步有m n种不同的方法，那么完 成这件事共有： 种不同的方法 2. 分步计数原理（乘法原理） 分步计数原理 各步相互依存 ，每步中的方法 完成事件的 一个阶段 ，不能完成整个事件 12n N=m mm 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理 方法相互独立 ，任何一种方法 都可以 独立地完成这件事 。 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还 是分类 , 或是分步与分类同时进行, 确定分多 少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题( 有序) 还是 组合( 无序) 问

3、题, 元素总数是多少及取出多 少个元素 . 解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素优先法和特殊位置优限法 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数 . 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有 _ 然后排首位共有 _ 最后排其它位置共有 _ 1 3 C 1 3 C 1 4 C 1 4 C 3 4 A 3 4 A 由分步计数原理得=288 1 3 C 1 4 C 3 4 A 特殊位置优限法和特殊元素优先法是解决排 列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元 素分析为主

4、, 需先安排特殊元素 , 再处理其它 元素. 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置 的要求 , 再处理其它位置。若有多个约束条件， 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其 它条件。 1.7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两 种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里，问有多少不同的种法？ 25 45 1440 A A 练习题 二. 相邻问题捆绑法 : 例2. 7 人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法 . 甲乙丙丁 由分步计数原理可得共有 种不同的排法 5 5 A 2 2 A 2 2 A=480 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一

5、个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用 捆绑法来解决问题 . 即将需要相邻的元素捆绑 为一个元素 , 再与其它元素一起作排列, 同时 要注意捆绑的元素内部要松绑。 某人射击 8枪，命中 4枪，4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为 （） 练习题 20 捆在一起的相同 元素不需要松绑。 捆在一起的相同元素 的个数若不同，便是 不同的元素了。 三. 不相邻问题插空法 : 例3. 一个晚会的节目有 4个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个 独唱, 舞蹈节目不能连续出场 , 则节目的出 场顺序有多少种？ 解: 分两步进行第一步排

6、2个相声和 3个独唱共 有种， 5 5 A 第二步将 4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种不同的方法 4 6 A 由分步计数原理 ,节目的 不同顺序共有种 5 5 A 4 6 A 相相独独独 元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再把不相邻元素插入中间和两端的 某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目. 如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（）30 练习题 有6个座位连成一排，安排 3人就座，恰 有两个空位相邻的不同坐法有（）种？ 72 72 2 4 3 3 AA 四. 部分元素定序问题

7、倍缩法: 例4.7 人排队 , 其中甲乙丙 3人顺序一定共有多 少不同的排法 解:( 倍缩法 ) 对于某几个元素顺序一定的排列 问题, 可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列 , 然后用总排列数除以 这几个元 素之间的全排列数 , 则共有不同排法种数 是： 7 7 3 3 A A （空位法 ）设想有 7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有种坐法，则共有种 方法 4 7 A 1 4 7 A （ 插空法 ) 先排甲乙丙三个人 , 共有1种排法 , 再 把其余 4四人依次插入共有方法4*5*6*7 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人

8、身高各不相等 , 排成前后排，每排 5人, 要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五. 重复排列问题求幂法 : 例5. 把6名实习生分配到 7个车间实习 , 共有 多少种不同的分法 解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生分配 到车间有种分法 .7 把第二名实习生分配 到车间也有 7种分法， 依此类推 , 由分步计 数原理共有种不同的排法 6 7 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n个不同的元素没 有限制地安排在 m个位置上的排列数为种n m 1. 某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节 目单，开演前又增加

9、了两个新节目. 如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为（）42 2. 某8层大楼一楼电梯上来 8名乘客人 , 他们 到各自的一层下电梯 , 下电梯的方法 （） 8 7 练习题 六. 环排问题线排法 例6. 5 人围桌而坐 , 共有多少种坐法 ? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有 _ 种排法即 4 4 A A B C E D DA A B C E （5-1) ！ 一般地 ,n 个不同元素作圆形排 列, 共有(n-1)!种排法 . 如果 从n个不同元素中取出 m 个元素 作圆形排列共有 1 m nm

10、A 练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 60 七. 分排问题直排法 : 例7.8 人排成前后两排 , 每排4人, 其中甲乙在 前排, 丁在后排 , 共有多少排法 解:8人排前后两排 ,相当于 8人坐8把椅子 ,可以 把椅子排成一排 . 先在前 4个位置排甲乙两 个特殊元素有 _种,再排后 4个位置上的 特殊元素有 _种,其余的 5人在5个位置 上任意排列有 _种,则共有 _种. 前排后排 2 4 A 1 4 A 5 5 A 2 4 A 5 5 A 1 4 A 一般地 ,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑 ,再分段研究. 有两排座位，前排 11个座位，后排 12个座位，现安排

11、2人就座规定前排 中间的 3个座位不能坐，并且这 2人 不左右相邻，那么不同排法的种数 是_ 346 练习题 八. 排列组合混合问题 先分类再分步 , 先组合后排列 : 例8. 有5个不同的小球 , 装入4个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同的装法 . 解: 第一步从 5个球中选出 2个组成复合元共 有_种方法 . 再把5个元素 ( 包含一个复合 元素) 装入4个不同的盒内有 _种方法 . 2 5 C 4 4 A 根据分步计数原理装球的方法共有_ 2 5 C 4 4 A 解决排列组合混合问题 ,先选后排是最基本的 指导思想 . 练习题 一个班有 6名战士 , 其中正副班长各 1

12、人 现从中选 4人完成四种不同的任务 , 每人 完成一种任务 , 且正副班长有且只有 1人 参加, 则不同的选法有 _ 种192 在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌 , 广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只 要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同 的配色方案共有（）种55 九. 小集团问题先整体后局部 例9. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹 1, 在两个奇数之 间, 这样的五位数有多少个？ 解：把 ,当作一个小集团与排队 共有_种排法，再排小集团内部共有 _种排法，由分步计数原理共有 _种排法 . 2 2 A 22 22 A A 22 22 A A 2

13、2 A 3 1524 小集团 小集团排列问题中，先整体后局 部，再结合其它策略进行处理。 .计划展出 10幅不同的画 ,其中1幅水彩画 , 幅油画 ,幅国画 , 排成一行陈列 ,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有陈列方式的种数为_ 2. 5男生和女生站成一排照像,男生相邻 ,女 生也相邻的排法有 _种 255 255 A A A 254 254 A A A 十. 相同元素分堆问题隔板法: 例10.有10个运动员名额，在分给 7个班，每 班至少一个 , 有多少种分配方案？ 解：因为 10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成个空隙。 在个空档中选个位置插个隔

14、板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_ 种分法。 一 班 二 班 三 班 四 班 五 班 六 班 七 班 6 9 C将n个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数） , 每份至少一个元素 , 可以用 m-1块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1个空隙中，所有分法数 为 1 1 m n C 练习题 1.10 个相同的球装 5个盒中 , 每盒至少一 有多少装法？ 2 . 不定方程 x+y+z+w=7 的正整数解的个 数是多少个 ? 4 9 C 十一. 正难则反淘汰法 : 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三 个数，使其和为不

15、小于 10的偶数 ,不同的 取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。 这十个数字中有 5 个偶数 5个奇数 , 所取的三个数含有 3个偶 数的取法有 _,只含有 1个偶数的取法 有_,和为偶数的取法共有 _ 再淘汰和小于 10的偶数共 _ 符合条件的取法共有 _ 3 5 C 12 55 CC 9 013015017023025027041045043 12 55 CC 3 5 C+ - 9 12 55 CC 3 5 C+ 有些排列组合问题 , 正面直接考虑比较复杂 , 而它的反面往往比较简捷, 可以先求出它的 反面, 再从整体中淘汰 . 我们班里有 43

16、位同学 , 从中任抽 5人, 正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种 ? 练习题 十二. 平均分堆问题等额有序和等额无序法: 例12. 6本不同的书平均分成 3堆,每堆2本共有 多少分法？ 解: 分三步取书得种方法 ,但这里出现 重复计数的现象 ,不妨记 6本书为 ABCDEF 若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为 (AB,CD,EF), 则中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有种取法 ,而 这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法 ,故共 有种分法。 222 642

17、CCC 222 642 CCC 3 3A 222 642CCC 3 3 A 平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都是一 种情况 ,所以分组后要一定要除以(n为均 分的组数 )避免重复计数。 n n A 1 将13个球队分成 3组,一组5个队,其它两组 4 个队, 有多少分法？ 2.10名学生分成 3组,其中一组 4人, 另两组 3人 但正副班长不能分在同一组,有多少种不同 的分组方法 （1540） 544 1384 2 2 CC C A 3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排 2名，则不同的安排方案种数为_ 222 642 2 2 90

18、A CC A 十三. 公共元素问题韦恩图法 : 例13. 在一次演唱会上共 10名演员 , 其中8人能 能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2人 唱歌2人伴舞的节目 , 有多少选派方法 ? 解： 10演员中有 5人只会唱歌， 2人只会跳舞 3人为全能演员。 以只会唱歌的 5人是否 选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱 的5人中没有人选上唱歌人员共有_ 种, 只会唱的 5人中只有 1人选上唱歌人 员_种, 只会唱的 5人中只有 2人 选上唱歌人员有 _种，由分类计数 原理共有 _ 种。 22 33CC 112 534 CCC 22 55C C 22 33CC 112 534CCC 22 55

19、C C + 本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2人是否选上跳舞人员为标准 都可以得到正确结果 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。 1. 从4名男生和 3名女生中选出 4人参加某个座 谈会，若这 4人中必须既有男生又有女生，则 不同的选法共有 _ 34 练习题 2. 3成人2小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3人, 2 号船最多乘 2人,3 号船只能乘 1人, 他们任选 2只船或 3

20、只船, 但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法 . 27 十四. 构造模型策略 例14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯 , 现要关掉其中的 3盏, 但不能关 掉相邻的 2盏或3盏, 也不能关掉两端的 2 盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的 5个空隙中插入 3个不亮的灯 有_ 种 3 5C 一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队 模型，装盒模型等，可使问题直观解决 练习题 某排共有 10个座位，若 4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？ 120 十五.

21、 实际操作穷举策略 例15. 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2 3,4,5 的五个盒子 , 现将5个球投入这五 个盒子内 , 要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法 解：从5个球中取出 2个与盒子对号有 _种 还剩下 3球3盒序号不能对应， 利用实际 操作法，如果剩下 3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装 4号盒时，则 4,5号球有只有 1种 装法 3号盒 4号盒 5号盒 34 5 2 5 C 十五. 实际操作穷举策略 例15. 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2 3,4,5 的五个盒子 , 现将5个球投入这五 个

22、盒子内 , 要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法 解：从5个球中取出 2个与盒子对号有 _种 还剩下 3球3盒序号不能对应， 2 5 C 利用实际 操作法，如果剩下 3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装 4号盒时，则 4,5号球有只有 1种 装法, 2 5 C 同理3号球装 5号盒时 ,4,5号球有也 只有1种装法 ,由分步计数原理有 2 种 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状 图会收到意想不到的结果 练习题 1. 同一寝室 4人, 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年

23、卡不同的分配方式有多少种？(9) 2. 给图中区域涂色 , 要求相邻区 域不同色 , 现有4种可选颜色 , 则 不同的着色方法有 _种 2 1 3 4 5 72 十六. 分解与合成策略 例16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析：先把 30030分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113依题 意可知偶因数必先取 2, 再从其余 5个 因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因数为： 012345 555555 CC CCCC 例17.正方体的 8个顶点可连成多少对异面 直线 解：我们先从 8个顶点中任取 4个顶点构成四 体共有体共 _每个四面体有 _ 对异面直线 ,正方体中

24、的 8个顶点可连成 _ 对异面直线 4 8 1258 C 6 658=174 分解与合成策略是排列组合问题的一种最 基本的解题策略 , 把一个复杂问题分解成几 个小问题逐一解决 , 然后依据问题分解后的 结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问 题合成 , 从而得到问题的答案, 每个比较复 杂的问题都要用到这种解题策略 十七.化归策略 例18. 25 人排成 55方队, 现从中选 3人, 要 求3人不在同一行也不在同一列, 不同的 选法有多少种？ 解： 将这个问题退化成 9人排成 33方队, 现 从中选 3人, 要求3人不在同一行也不在 同一列 , 有多少选法 . 这样每行必有 1人 从其中的

25、一行中选取 1人后, 把这人所在 的行列都划掉， 从55方队中选取 3行3列有_选法 所以从 55方队选不在同一行也不在同 一列的 3人有_ 选法。 33 55C C 33111 55321 600 C C C C C 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题 退化成一个简要的问题，通过解决这个简要 的问题的解决找到解题方法，从而进下一步 解决原来的问题 如此继续下去 . 从33方队中选 3人的方法 有_种。再从 55方队选出 33 方队便可解决问题 111 321 C C C 某城市的街区由 12个全等的矩形区组成 其中实线表示马路，从 A走到B的最短路 径有多少种？ 练习题 B A 3 7

26、35 C 设有编号为 1、2、3、4、5的五个球和编号为 1、2、3、4、5的五个盒子，现将 5个球投放 到这五个盒子内，要求每个盒内放一个球， 若球的编号恰好与盒子的编号均不同，则不 同的投放方法的种数为多少？ 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的 个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方 法有多少种？ 我校邀请了 6位同学的父母共 12人,请这12名 家长中的 4位介绍对子女的教育情况,如果这 4 位中恰有一对是夫妻 ,那么不同的选择方法的 种数是多少 ? 在5双不同的手套中任取 4只,则其中至少有两 只配成一副手套的取法有多少种? 34 436324 7654321 DCBA B ABA 数为（）个？为值域的不同的函数个 为定义域，则以，设 小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的 解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学 习中的难点，通过我们平时做的练习题，不 难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易 挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难 以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练 掌握。根据它们的条件 , 我们就可以选取不同 的技巧来解决问题 . 对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的 问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为 后续学习打下坚实的基础。