苏科版八年级上册几何压轴题专题(解析版).pdf

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1、八年级几何题目 1.如图， 点 P 是等边三角形ABC 内一点，且 PA=3， PB=4， PC=5，若将 APB 绕着点 B 逆时针旋转后得到CQB， 则 APB 的度数 _ 2.如图 1，点 M 为直线 AB 上一动点， PAB，PMN 都是等边三角形，连接BN， （1）求证： AM=BN； （2）分别写出点 M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数 量关系（不需证明）； （3）如图 4，当 BM=AB时，证明： MN AB 3.如图 1，将一块等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 置于直线 l 上，图 2 是由图 1抽 象出的几何图形，过A、B 两点分别作直线l 的垂线

2、，垂足分别为D、E （1） ACD 与CBE 全等吗？说明你的理由 （2）猜想线段AD、BE、 DE 之间的关系（直接写出答案） 4.（1）问题发现 如图 1， ACB 和 DCE 均为等边三角形，点A，D，E 在同一直线上，连接BE， 求 AEB 的度数 （2）拓展探究 如图 2， ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形， ACB= DCE=90 ，点 A、D、E 在 同一直线上， CM 为 DCE 中 DE 边上的高，连接 BE 请求 AEB 的度数及线段CM， AE，BE 之间的数量关系，并说明理由 5.如图， ABC 中，AB=AC， B、 C 的平分线交于O 点，过 O 点作 EF

3、BC 交 AB、 AC 于 E、F试回答： （1）图中等腰三角形是_ 猜想： EF 与 BE、CF 之间的关系是_ 理 由： （2）如图，若AB AC，图中等腰三角形是_ 在第（ 1）问中 EF 与 BE、 CF 间的关系还存在吗？ （3）如图，若 ABC 中 B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于 O，过 O 点作 OE BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F这时图中还有等腰三角形吗？EF 与 BE、CF 关系又如何？说明你的理由 6.如图 1，点 P、Q 分别是边长为4cm 的等边 ABC 边 AB、BC 上的动点，点P 从顶 点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都

4、为1cm/s， （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化， 则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时 PBQ 是直角三角形？ （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线AB、BC 上运动，直线AQ、 CP 交点为 M，则 CMQ 变化吗？若变化， 则说明理由， 若不变， 则求出它的度数 7.如图，在 ABC 中， AB=AC=2， B=40 ，点 D 在线段 BC 上运动（点D 不与点 B、 C 重合），连接AD，作 ADE=40 ，DE 交线段 AC 于点 E （1）当 BDA =115 时， EDC=_ ， AED=_ ；

5、 （2）线段 DC 的长度为何值时， ABD DCE，请说明理由； （3）在点 D 的运动过程中， ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求 BDA 的度数；若不可以，请说明理由 8.如图， ABC 是边长为5cm 的等边三角形，点P， Q 分别从顶点A， B 同时出发， 沿线段 AB，BC 运动，且它们的速度都为1cm/s当点 P 到达点 B时， P，Q 两点 停止运动，设点P 的运动时间为t（ s） （1）当 t为何值时， PBQ是直角三角形？ （2）连接 AQ、CP，相交于点M，则点 P，Q 在运动的过程中， CMQ 会变化吗？ 若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数 9.【新知

6、理解】 如图，若点A、B在直线 l 同侧，在直线l 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小 作法：作点 A 关于直线l 的对称点 A， 连接 AB 交直线 l 于点 P，则点 P 即为所求 【解决问题】 如图， AD 是边长为6cm 的等边三角形ABC 的中线， 点 P、 E分别在 AD、 AC 上， 则 PC+PE 的最小值为 _cm； 【拓展研究】 如图，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P，使 APB= APD（保留作图 痕迹，并对作图方法进行说明） 10.在 ABC 中， C=90 ，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点 P 处，将此三角板绕点P 旋转，三角

7、板的两直角边分别交射线AC、 CB 与点 D、 点 E， 图，是旋转得到的三种图形 （1）观察线段PD 和 PE之间的有怎样的大小关系，并以图为例，加以说明； （2）PBE 是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况 （即求出 PBE 为等腰三 角形时 CE 的长）；若不能请说明理由 11.（1）观察猜想 如图点B、A、C 在同一条直线上，DB BC，EC BC 且 DAE=90 ，AD=AE，则 BC、BD、CE 之间的数量关系为_； （2）问题解决 如图，在 RtABC中， ABC=90 ，CB=4，AB=2，以 AC为直角边向外作等腰 Rt DAC ，连结 BD，求 BD 的长； （3）拓

8、展延伸 如图，在四边形ABCD 中， ABC= ADC=90 ， CB=4， AB=2，DC=DA，请直接 写出 BD 的长 12.如图， 四边形 ABCD 是正方形，E是直线 CD 上的点，将沿 AE对折得 ， 直 线 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG 求证： ； 当 DE 是线段 CD 的一半时， 请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形 保留作图痕迹，不写作法 (3)在的条件下，求 的度数 13.如图，已知 ABC 中， B=90 ，AB=16cm，BC=12cm，P、Q 是 ABC 边上的两个 动点，其中点P 从点 A 开始沿 AB 方向运动，且速度为每秒1cm，点 Q 从点

9、 B 开 始沿 BCA 方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒 （1）出发 2 秒后，求 PBQ 的面积； （2）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发几秒钟后，PQB 能形成等腰三角形？ （3）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使 BCQ 成为等腰三角形的运动时间 14.如图，边长为 4cm的等边 ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除 外）， 点 P 从顶点 A， 点 Q 从顶点 B 同时出发， 且它们的速度都为1cm/s， 连接 AQ， CP 交于点 M，在点 P， Q 运动的过程中 （1）求证： ABQ CAP； （2） QMC 的大小是否发生变

10、化？若无变化，求 QMC 的度数；若有变化，请说 明理由； （3）连接 PQ，当点 P，Q 运动多少秒时，PBQ 是直角三角形？ 15.已知 ABC 中，AB=AC，BC=6点 P 从点 B出发沿射线BA 移动，同时点Q 从点 C 出发沿线段AC 的延长线移动，点P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D （1）如图，过点P作 PF AQ 交 BC 于点 F，求证： PDF QDC ； （2）如图，当点P为 AB 的中点时，求CD 的长； （3）如图，过点P作 PE BC 于点 E，在点 P从点 B 向点 A 移动的过程中，线 段 DE 的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE

11、 的长度，若改变，请说明理 由 16.如图，已知 ABC 中， B=90 ，AB=16cm，BC=12cm，P、Q 是 ABC 边上的两个 动点，其中点P 从点 A 开始沿 AB 方向运动，且速度为每秒1cm，点 Q 从点 B 开 始沿 BCA 方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒 （1）出发 2 秒后，求PQ 的长； （2）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发几秒钟后，PQB 能形成等腰三角形？ （3）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使 BCQ 成为等腰三角形的运动时间 17.如图 1， ABC 是等边三角形，点E 在 AC 边上，点D 是 BC 边上的一个动

12、点，以 DE 为边作等边 DEF ，连接 CF （1）当点 D 与点 B 重合时，如图2，求证： CE + CF = CD； （2）当点 D 运动到如图3 的位置时，猜想CE、CF、CD 之间的等量关系，并说明 理由； （3）只将条件“点D 是 BC 边上的一个动点”改为“点D 是 BC 延长线上的一个 动点”，如图4，猜想 CE、CF、CD 之间的等量关系为_（不 必证明） 18.如图，在 ABC 中， AB=AC，D 是 BC 上任意一点，过D 分别向 AB、AC 引垂线， 垂足分别为E、 F 点 （1）当点 D 在 BC 的什么位置时，DE =DF ？并证明 （2）在满足第一问的条件下，

13、连接 AD，此时图中共有几对全等三角形？并请给予 写出 （3）过 C 点作 AB 边上的高 CG，请问 DE、DF 、CG 的长之间存在怎样的等量关 系？并加以证明 答案和解析 1.【答案】 150 【解析】 解：连接PQ，由题意可知 ABP CBQ 则 QB=PB=4，PA=QC=3， ABP= CBQ， ABC 是等边三角形， ABC= ABP+ PBC=60 ， PBQ= CBQ+ PBC=60 ， BPQ 为等边三角形， PQ=PB=BQ=4， 又 PQ=4，PC=5，QC=3， PQ 2+QC2=PC2， PQC=90 ， BPQ 为等边三角形， BQP=60 ， BQC= BQP+

14、 PQC=150 , APB= BQC=150 . 首先证明 BPQ 为等边三角形，得 BQP=60 ，由 ABPCBQ 可得 QC=PA，在 PQC 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出 PQC=90 ，可求 BQC 的度数，由此即可 解决问题 本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关 键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型 2.【答案】 （1）证明： PAB 和 PMN 是等边三角形， BPA= MPN=60 ，AB=BP=AP，PM=PN=MN， BPA- MPB= MPN- MPB， APM= BPN 在 APM 和 BPN 中 ， APM B

15、PN（SAS ）， AM=BN； （ 2）解：图2 中 BN=AB+BM； 图 3 中 BN=BM-AB， （ 3）证明： PAB 和 PMN 是等边三角形， ABP= PMN=60 ，AB=PB， PBM=120 ， BM=AB=PB， BMP=30 ， BMN= PMN+ BMP=90 ， MN AB 【解析】 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答 时证明三角形全等是关键 （ 1）根据等边三角形的性质就可以得出 BPA= MPN=60 ， AB=BP=AP，PM=PN=MN， 进而就可以得出 APM BPN，得出结论； （ 2）由（ 1）中的方法证得 APM

16、 BPN，得出图2 中， BN=AB+BM；得出图3 中， BN=BM-AB； （ 3）由等边三角形的性质得出 ABP= PMN =60 ，就可以得出 PBM=120 ，求得 BMP=30 ，进而就可以得出 BMN=90 ，得出结论 3.【答案】 证明：（ 1） ACD 与CBE 全等 . 理由如下： AD CE，BE CE， ADC= CEB=90 ， 又 ACB=90 ， ACD= CBE=90 - ECB 在 ACD 与 CBE 中， ， ACD CBE（AAS）； （ 2）AD=BE-DE. 【解析】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是根据AAS证明三角形全等

17、. （ 1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为： ACD 与CBE根据 AAS即可 证明； （ 2）由（1）知 ACD CBE，根据全等三角形的对应边相等，得出 CD=BE，AD=CE， 从而求出线段AD、BE、DE 之间的关系 . 【解答】 解：（ 1）见答案； （ 2） ACD CBE， CD=BE，AD=CE， 又 CE=CD-DE， AD=BE-DE. 4.【答案】 解：（ 1） ACB 和 DCE 均为等边三角形， CA=CB，CD=CE， ACB= DCE=60 ， ACD=60 - CDB= BCE， 在 ACD 和 BCE 中， ， ACD BCE（SAS ）， ADC=

18、 BEC， DCE 为等边三角形， CDE= CED =60 ， 点 A，D，E 在同一直线上， ADC=120 ， BEC=120 ， AEB= BEC- CED=60 . （ 2） AEB=90 ， AE=BE+2CM. 理由： ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形， CA=CB，CD=CE， ACB= DCE=90 ， ACD= BCE， 在 ACD 和 BCE 中， ， ACD BCE（SAS ）， AD=BE， ADC= BEC， DCE 为等腰直角三角形， CDE= CED =45 ， 点 A，D，E 在同一直线上， ADC=135 ， BEC=135 ， AEB= BEC- C

19、ED=90 ， CD=CE，CM DE， DM =ME DCE=90 ， DM =ME=CM AE=AD+DE=BE+2CM. 【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性，证明三角形全 等是解决问题的关键. （ 1）先证出 ACD= BCE，那么 ACD BCE，根据全等三角形证出 ADC= BEC，求 出 ADC=120 ，得出 BEC=120 ，从而证出 AEB=60 ； （ 2）证明 ACD BCE，得出 ADC= BEC，最后证出DM=ME=CM 即可 . 5.【答案】 (1)AEF、OEB、 OFC 、 OBC、ABC；EF=BE+CF ； 理由如下： OB、O

20、C 平分 ABC、 ACB， ABO= OBC， ACO= OCB； EF BC， EOB= OBC= EBO， FOC = OCB= FCO；即 EO=EB，FO=FC； EF=EO+OF=BE+CF ; (2) EOB、FOC; 当 AB AC 时， EOB、 FOC 仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立（证明过程同 （ 1） ; (3) EOB 和 FOC 仍是等腰三角形，EF=BE-FC ; 理由如下：同（1）可证得 EOB 是等腰三角形； EO BC， FOC= OCG, OC 平分 ACG， ACO= FOC = OCG， FO=FC，故 FOC 是等腰三角形 , EF=EO-FO

21、=BE-FC 【解析】 解：（ 1）图中是等腰三角形的有：AEF、OEB、 OFC 、 OBC、ABC； EF、BE、FC 的关系是EF=BE+FC理由如下： OB、OC 平分 ABC、 ACB， ABO= OBC， ACO= OCB, EF BC， EOB= OBC= EBO， FOC = OCB= FCO, 即 EO=EB， FO=FC, EF=EO+OF=BE+CF ; （ 2）当 AB AC 时， EOB、FOC 仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立（证明过 程同（ 1） ; （ 3） EOB 和 FOC 仍是等腰三角形，EF=BE-FC 理由如下： 同（ 1）可证得 EOB 是等腰三

22、角形； EO BC， FOC= OCG, OC 平分 ACG， ACO= FOC = OCG， FO=FC，故 FOC 是等腰三角形 , EF=EO-FO=BE-FC （ 1）由 AB=AC，可得 ABC= ACB；又已知OB、OC 分别平分 ABC、 ACB；故 EBO= OBC= FCO = OCB；根据 EF BC，可得： EOB= OBC= EBO， FOC= FCO= BCO；由此可得出的等腰三角形有：AEF、 OEB、 OFC 、OBC、 ABC； 已知了 EOB 和FOC 是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则 EF=BE+FC （ 2）由（ 1）的证明过程可知：在证 OEB

23、、OFC 是等腰三角形的过程中，与AB=AC 的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立所以（1）中得出的EF=BE+FC 的结论 仍成立 （ 3）思路与（ 2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC 此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质、角平分线的定义等知识进行线段 的等量代换是正确解答本题的关键 6.【答案】 解：（ 1） CMQ=60 不变 等边三角形中，AB=AC， B= CAP=60 又由条件得AP=BQ， ABQ CAP（SAS）， BAQ= ACP， CMQ= ACP+ CAM= BAQ+ CAM= BAC=60 （ 2）设时间为t，则 AP=BQ=t，PB=4-t 当 P

24、QB=90 时， B=60 ， PB=2BQ，得 4-t=2t，t= ； 当 BPQ=90 时， B=60 ， BQ=2BP，得 t=2（4-t）， t= ； 当第 秒或第秒时， PBQ 为直角三角形 （ 3） CMQ =120 不变 在等边三角形中，BC=AC， B= CAP=60 PBC= ACQ=120 ， 又由条件得BP=CQ， PBC QCA（SAS ） BPC= MQC 又 PCB= MCQ， CMQ= PBC=180 -60 =120 【解析】 （1）因为点 P从顶点 A，点 Q 从顶点 B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， 所以 AP=BQAB=AC， B= CAP=60

25、，因而运用边角边定理可知ABQ CAP再用 全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理， 可求得 CQM 的度数 （ 2）设时间为t，则 AP=BQ=t，PB=4-t分别就当 PQB=90 时；当 BPQ=90 时 利用直角三角形的性质定理求得t 的值 （ 3）首先利用边角边定理证得 PBC QCA，再利用全等三角形的性质定理得到 BPC= MQC再运用三角形角间的关系求得 CMQ 的度数 此题是一个综合性很强的题目本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、 直角三角形的性质难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神 7.【答案】 （1）25；65； （2）当 DC=

26、2时， ABDDCE， 理由： C=40 ， DEC+ EDC =140 ， 又 ADE=40 ， ADB+ EDC=140 ， ADB= DEC， 又 AB=DC=2， 在 ABD 和 DCE 中 ， ABD DCE（AAS）； （ 3）当 BDA 的度数为110 或 80 时， ADE 的形状是等腰三角形， BDA=110 时， ADC=70 ， C=40 ， DAE=70 ， AED=180 -70 -40 =70 ， ADE 的形状是等腰三角形； 当 BDA 的度数为80 时， ADC=100 ， C=40 ， DAE=40 ， DAE= ADE， ADE 的形状是等腰三角形 【解析】

27、 【分析】 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角 的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大， 属于基础题 （ 1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （ 2）当 DC=2 时，利用 DEC+ EDC=140 ， ADB+ EDC=140 ，求出 ADB= DEC， 再利用 AB=DC=2，即可得出 ABD DCE （ 3）当 BDA 的度数为110 或 80 时， ADE 的形状是等腰三角形 【解答】 解：（ 1） EDC=180 - ADB- ADE=180 -115 -40 =25 ； AED= EDC+ C=

28、40 +25 =65 故答案为25； 65； （ 2）、（ 3）见答案 . 8.【答案】 解：（ 1）设 时间为t，则 AP=BQ=t， PB=5-t 当 PQB=90 时， B=60 ， PB=2BQ， 得 5-t=2t， t= ； 当 BPQ=90时， B=60 ， BQ=2BP，得 t=2（5-t）， t=； 当第 秒或第秒时， PBQ 为直角三角形 （ 2） CMQ =60 不变 在 ABQ 与 CAP 中， ， ABQ CAP（SAS）， BAQ= ACP， CMQ= ACP+ CAM= BAQ+ CAM= BAC=60 【解析】 （1）需要分类讨论：分 PQB=90 和 BPQ=9

29、0 两种情况； （ 2） CMQ =60 不变通过证 ABQ CAP（SAS）得到： BAQ= ACP，由三角形外 角定理得到 CMQ= ACP+ CAM= BAQ+ CAM= BAC=60 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质 掌握判定三角形全等的方法， 分类讨论是解决问题的关键 9.【答案】 【解决问题】3 【拓展研究】 方法 1：如图， 作 B 关于 AC 的对称点E，连接 DE 并延长， 交 AC 于 P， 点 P 即为所求，连接BP，则 APB= APD 方法 2：如图， 作点 D 关于 AC 的对称点D，连接 DB 并延长与AC 的交于点P，点 P 即为所求，连接DP

30、，则 APB= APD 【解析】 解：（ 1）【解决问题】 如图，作点E 关于 AD 的对称点F，连接 CF，交 AD 于点 P，则 PE=PF， 当点 F，P，C 在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF（最短）， 当 CF AB 时， CF 最短，此时BF=AB=3（cm）， RtBCF 中， CF= =3（cm）， PC+PE 的最小值为3cm， 故答案为： 3 ； （ 2）【拓展研究】 方法 1：如图，作B 关于 AC 的对称点E，连接 DE 并延长，交AC 于 P，点 P 即为所 求，连接BP，则 APB= APD 方法 2：如图， 作点 D 关于 AC 的对称点D，连接 DB

31、并延长与AC 的交于点P，点 P 即为所求，连接DP，则 APB= APD （ 1）作点 E 关于 AD 的对称点F，连接 CF，则 PE=PF，根据两点之间线段最短以及垂 线段最短，得出当CF AB 时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），最后根据勾股定理，求得 CF 的长即可得出PC+PE 的最小值； （ 2）根据轴对称的性质进行作图方法 1：作 B 关于 AC 的对称点E，连接 DE 并延长， 交 AC 于 P，连接 BP，则 APB= APD方法 2：作点 D 关于 AC 的对称点D，连接 DB 并延长与AC 的交于点P，连接 DP，则 APB= APD 本题属于轴对称-最短路线问题

32、，本题考查了勾股定理、轴对称的性质，利用轴对称作 图与基本作图等知识点的综合应用，熟知两点之间， 线段最短以及垂线段最短是解答此 题的关键 10.【答案】 解：（ 1）PD=PE以图为例，如图，连接PC ABC 是等腰直角三角形，P为斜边 AB 的中点， PC=PB，CP AB， DCP = B=45 ， 又 DPC+ CPE=90 ， CPE+ EPB=90 DPC= EPB DPC EPB（ASA） PD=PE； （ 2）能，当EP=EB 时， CE= BC=1 当 EP=PB 时，点 E 在 BC 上，则点E 和 C 重合， CE=0 当 BE=BP 时，若点 E 在 BC 上，则 CE

33、=2- 若点 E 在 CB 的延长线上，则CE=2+ 【解析】 （1）连接 PC，通过证明 DPC EPB，得出 PD=PE （ 2）分 EP=EB、EP=PB 时、 BE=BP 三种情况进行解答 本题考查了等腰三角形的性质与判定；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏 解辅助线的作出是解答本题的关键 11.【答案】 （1）BC=AB+AC=BD+CE （ 2）问题解决 如图，过D 作 DE AB，交 BA 的延长线于 E， 由（ 1）同理得： ABC DEA， DE=AB=2，AE=BC=4， RtBDE 中， BE=6， 由勾股定理得：BD=2； （ 3）拓展延伸 如图，过D 作 DE

34、 BC 于 E，作 DF AB 于 F， 同理得： CED AFD， CE=AF，ED=DF， 设 AF=x， DF=y， 则，解得：， BF=2+1=3，DF =3， 由勾股定理得：BD=3 【解析】 解：（ 1）观察猜想 结论： BC=BD+CE，理由是： 如图， B=90 ， DAE=90 ， D+ DAB= DAB+ EAC=90 ， D= EAC， B= C=90 ，AD=AC， ADB EAC， BD=AC，EC=AB， BC=AB+AC=BD+CE； （ 2）见答案； （ 3）见答案； 【分析】 （ 1）观察猜想：证明 ADB EAC，可得结论： BC=AB+AC=BD+CE；

35、（ 2）问题解决：作辅助线，同理证明：ABC DEA，可得 DE=AB=2，AE=BC=4，最 后利用勾股定理求BD 的长； （ 3）拓展延伸：同理证明三角形全等，设AF=x， DF=y，根据全等三角形对应边相等 列方程组可得结论 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理，解决本题的关键是证明： CED AFD ，并运用了类比的思想依次解决问题 12.【答案】 解：（ 1）证明： 四边形 ABCD 为正方形， AB=AD， B= D=90 ， 将 ADE 沿 AE 对折得 AFE， AF=AD=AB， AFE= D=90 ， 在 Rt ABG 与 Rt AFG 中， AF=AB,AG

36、=AG, ABG AFG（HL）； （ 2）如图所示： （3） AFEADE，ABGAFG， EAF= EAD ， GAF = GAB， 在正方形ABCD 中， BAD=90 【解析】 此题主要考查了折叠的性质、正方形的性质和全等三角形的性质及判定，综合 利用各性质定理是解答此题的关键 （ 1）利用正方形的性质和折叠的性质可得AF=AB， AFE= D，由 HL 定理可证得 RtABGRtAFG； （ 2）首先作出CD 的垂直平分线，与CD 相交于点E，再以 E 点为圆心， DE 为半径作 弧， A点为圆心， AF 为半径作弧，两弧相交于点F，连接 AF，AE，EF，延长 EF 与 BC 相交

37、于点G，如图所示； （ 3）由 AFE ADE，ABG AFG，利用全等三角形的性质可得 EAF= EAD， GAF= GAB，易得 ，可得结论 . 13.【答案】 解：（ 1）当 t=2 时，则 AP=2cm，BQ=2t=4cm， AB=16cm， BP=AB-AP=16-2=14 （cm）， 在 Rt BPQ 中， S PBQ= BP BQ=28cm2 （ 2）由题意可知AP=t，BQ=2t， AB=16cm， BP=AB-AP=(16-t)cm， 当 PQB 为等腰三角形时，则有BP=BQ， 即 16-t=2t，解得 t=， 出发秒后 PQB 能形成等腰三角形 . （ 3）当 CQ=BQ

38、 时，如图1所示， 则 C= CBQ， ABC=90 ， CBQ+ ABQ=90 ， 又 A+ C=90 ， A= ABQ， BQ=AQ， CQ=AQ=10cm， BC+CQ=22cm， t=22 2=11 当 CQ=BC 时，如图2 所示， 则 BC+CQ=24cm， t=24 2=12 当 BC=BQ 时，如图3 所示， 过 B 点作 BE AC 于点 E， 则 BE= =， CE= ， CQ=2CE=14.4cm， BC+CQ=26.4cm， t=26.4 2=13.2 综上所述：当出发的时间为11 秒或 12 秒或 13.2 秒时， BCQ 为等腰三角形 【解析】 本题主要考查了勾股定

39、理、等腰三角形的性质和判定，三角形的面积和分类讨 论思想等知识用时间t 表示出相应线段的长，注意方程思想的应用 （ 1）可求得AP 和 BQ，则可求得BP，最后用三角形面积公式即可得出结论； （ 2）用 t可分别表示出BP 和 BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于 t 的方程，可求得t 的值； （ 3）利用等腰三角形的性质可分BQ=CQ、CQ=BC 和 BQ=BC 三种情况， 分别得到关于 t 的方程，可求得t 的值 14.【答案】 （1）证明： ABC 是等边三角形， ABQ= CAP=60 ，AB=CA， 点 P、Q 的速度相同， AP=BQ， 在 ABQ 和 CAP 中

40、， ， ABQ CAP（SAS）； （ 2）解： QMC 的大小不发生变化， ABQ CAP， BAQ= ACP， QMC= QAC+ ACP= QAC+ BAQ=60 ； （ 3）解：设点P，Q 运动 x秒时， PBQ 是直角三角形， 则 AP=BQ=x，PB=（4-x）， 当 PQB=90 时， B=60 ， BP=2BQ，即 4-x=2x， 解得， x= ， 当 BPQ=90 时， B=60 ， BQ=2BP，即 2（ 4-x）=x， 解得， x= ， 当点 P，Q 运动 秒或 秒时， PBQ 是直角三角形 【解析】 （1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明； （ 2）根据全

41、等三角形的性质得到 BAQ= ACP，根据三角形的外角的性质解答； （ 3）分 PQB=90 和 BPQ=90 两种情况，根据直角三角形的性质计算即可 本题考查的是全等三角形的判定、直径三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运 用分情况讨论思想是解题的关键 15.【答案】 解：（ 1） AB=AC， B= ACB PF AC， PFB= ACB B= PFB， BP=FP 由题意， BP=CQ， FP=CQ PF AC， DPF= DQC 又 PDF= QDC， PFD QCD； （ 2）如图，过P点作 PF AC 交 BC 于 F 点 P 为 AB 的中点， F 为 BC 的中点， FC=

42、 BC=3 由（ 1）知 PFD QCD ，CD=DF CD=DF = FC= ； （ 3）线段 DE 的长度保持不变 如图，过点P 作 PF AC 交 BC 于 F，由（ 1）知 PB=PF PE BC， BE=EF 由（ 1）知 PFD QCD ，CD=DF ， DE=EF+DF = BC=3 【解析】 （1）根据全等三角形的判定定理ASA进行证明； （ 2）过点 P 作 PF 平行与 AQ，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出 B= PFB，证 出 BP=PF，得出 PF=CQ，由 ASA证明 PFD QCD，得出 DF =CD= CF ，再证出 F 是 BC 的中点，即可得出结果； （

43、 3）过点 P 作 PF AC 交 BC 于 F，首先证明BE=EF，根据 DF =FC，即可解决问题 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、 等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是 解决问题的关键 16.【答案】 解：（ 1） BQ=2 2=4（cm）， BP=AB-AP=16-2 1=14（cm ）， B=90 ， PQ= =（cm）； （2）BQ=2t，BP=16-t， 根据题意得：2t=16-t， 解得： t=， 即出发秒钟后， PQB 能形成等腰三角形； （ 3）当 CQ=BQ 时，如图1所示， 则 C= C

44、BQ， ABC=90 ， CBQ+ ABQ=90 A+ C=90 ， A= ABQ， BQ=AQ， CQ=AQ=10， BC+CQ=22， t=22 2=11 秒 当 CQ=BC 时，如图2 所示， 则 BC+CQ=24， t=24 2=12 秒 当 BC=BQ 时，如图3 所示， 过 B 点作 BE AC 于点 E， 则 BE= =， CE=， CQ=2CE=14.4， BC+CQ=26.4， t=26.4 2=13.2 秒 综上所述：当t为 11 秒或 12 秒或 13.2 秒时， BCQ 为等腰三角形 【解析】 本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类 讨论思想的应用 （ 1）根据点P、Q 的运动速度求出AP，再求出BP 和 BQ，用勾股定理求得PQ 即可； （ 2）设出发t 秒钟后， PQB 能形成等腰三角形，则BP=BQ，由 BQ=2t， BP=8-t，列 式求得 t 即