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1、椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计 一、教学内容分析 教材选自人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1.椭圆及其标准方 程是继学习圆以后运用“ 曲线与方程 ” 思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程 是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面， 它 是对前面所学的运用“ 代数方法研究几何问题” 的又一次实际演练， 同时它也是进一步研究椭 圆几何性质和双曲线、抛物线的基础； 另一方面， 教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和 重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究 双曲线、 抛物线这两种圆锥曲线提供了基
2、本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是 本章和本节的重点内容。 椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方 程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方 法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭 圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察 分析、抽象概括的能力。 学生对 “ 曲线与方程 ” 的内在联系仅在“ 圆的方程 ” 一节中有过一次感性认识，并未真正有 所感受。 通过本节学习， 学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用 方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比
3、椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、 抛物线 奠定了基础。 根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是： 教学重点 ：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。 教学难点 ：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。 二、学生学情分析 在学习本节课前， 学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解 和运用的经验， 对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此， 学生已经具备探究有关点 的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要 利用曲线方程的知识推导出方程，与前面学生熟悉的圆相比，对学生的抽象、分析、实践的 能力要求
4、比较高，可能困难要大一点，导致学生在学习中可能出现的困难是：学生动手作图 慢；用尺规作图的思路可能出现障碍；受教材的影响， 学生选择坐标系的思维可能受到限制； 方程的化简也是一个难点。 三、 教学目标与目标解析 根据新课程标准对本节课的要求以及对教材和学生情况的分析，本节课教学目标确定为: 1、感受建立曲线方程的基本过程，使学生理解椭圆的定义。即通过学生动手用图钉、细绳 画椭圆，能用自己的语言叙述出什么是椭圆，进而引导学生利用直尺、圆规作出椭圆， 用等 价转化的方法从不同角度加深对椭圆的理解。 2、体会坐标法的应用，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程。即要让学生自己选择坐标 系，根据对椭圆概念
5、的不同理解，选择适当的方法， 推导椭圆的方程， 在这些活动的基础上， 让学生进一步感受曲线与议程的内在联系。 3、培养学生动手能力、合作意识和分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。 即通过对同一概念从不同角度的理解，坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程， 通过比较，体会曲线方程的不确定性及其标准方程的对称和谐美。 四、教学方法： 探究式教学法。即教师通过问题诱导启发讨论 探索结果，引导学生直观 观察 归纳抽象 总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力 五、教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳 六、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、“ 嫦娥一
6、号 ” 是我国的首颗绕月人造卫星。以中国古代神话人物嫦娥命名，已于2007 年 10 月 24 日 18 时 05 分左右在西昌卫星发射中心升空，在快要到达月球时，依靠控制火箭的 反向助推减速。在被月球引力“ 俘获 ” 后，成为环月球卫星，绕月球飞行。请问“ 嫦娥一号 ” 卫星的绕月运行轨道是什么？ 学生根据自己平时的积累，可能会回答圆或椭圆。 【设计意图 】：展示 “ 嫦娥一号 ” 绕月球运行的轨道图片，指出卫星进入太空后，以椭圆形轨 道绕月运行后又以极月圆轨道绕月球飞行。由于实际的结果与学生已有的认知产生了冲突， 从而激发了学生的兴趣和探索欲望。 2、用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌
7、面上，截面为圆形当端起水杯喝水时，水 杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形联想生活中还有哪些是椭圆图形？ 回忆： 1、圆是怎么画出来的？2、圆的定义是什么？3、圆的标准方程是什么形式？ （圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义， 用一根细绳就可画出一个圆将细 绳的一贯固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可） 猜想：1、椭圆是怎么画出来的？2、椭圆的定义是什么？3、椭圆的标准方程又是什么形式？ 提出：将圆心从一点“ 分裂 ” 成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧， 移动粉笔，可画出什么图形？ 【设计意图 】：从生活实际出发，从而激起学生
8、强烈的求知欲望。用类比的思想，通过已经 学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。 （二）实验探究，形成概念 1学生分组，合作探究，教师巡视指导通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆（每四人 一组，在预先准备好的绘图板上，用图钉固定细绳两端，用铅笔挑起细绳并绷紧，移动铅笔， 观察画出的图形） 2展示学生成果。 请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法， 从中归纳椭圆定义 与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离） 3几何画板动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想 【设计意图 】：给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“ 满足 什么样的条件下的点的
9、集合为椭圆” ；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生 的自信心。 4椭圆定义的完善 （1）提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲那 么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？ 引导学生回答：在“ 定义 ” 中需要加上 “ 常数大于” 的限制。 （2）深化问题：若常数等于或常数小于,情况会发生什么变化？ 应用平面几何中的“ 三角形任意两边之和大于第三边” 、“ 两点之间线段最短” 为理论依据， 得 出结论：当常数等于时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段 ；当常数小于时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在 【设计意图 】：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆 本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风 5、概括椭圆定义 请学生给出经过修改的椭圆定义： 定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质？ 令椭圆上任一点M，则有，