2019届中考数学模拟试题(一)(解析版)新人教版.pdf

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1、2019 届中考数学模拟试题（一） （解析版）新人教版 一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1 （ 3分）tan30的值等于（） ABCD 考点 ：特殊角的三角函数值 分析： 根据 tan30=即可得出答案 解答： 解：tan30= 故选 C 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键 2 （ 3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（） ABCD 考点 ：轴对称图形 分析： 根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样

2、的图 形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 解答： 解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意 故选 A 点评： 本题主要考查轴对称图形的知识点确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合 3 （ 3分） （2013?南开区一模）纳米是一个长度单位，1 纳米 =0.000000001 米，如果把水分子看成 是球形，它的直径约为0.4 纳米，用科学记数法表示为410 n 米，那么n 的值是（） A9B10 C9 D10 考点 ：科学记数法表示较小的数 分析： 绝对值小于1 的正数也可以利用科学

3、记数法表示，一般形式为a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数 所决定 解答： 解：1 纳米 =0.000000001 米 0.4 纳米=410 10 米； 则 n=10 故选： D 点评： 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10 n，其中 1|a| 10，n 为由原数 左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定 4 （ 3分） （2010?牡丹江）如图，O的直径 AB=10cm ，弦 CD AB ，垂足为P若 OP ：OB=3 ： 5，则 CD的长为（） A6cm B4cm C8cm D10cm 考点

4、 ：垂径定理；勾股定理 分析： 根据O 的直径可得出半径OB的长，也就求出OP的长；连接OC ，在 RtOCP中，运用勾股 定理可求出CP的长，进而可依据垂径定理求得CD的长 解答： 解：连接 OC ； AB=10cm ，OB=5cm ； OP ： OB=3 ： 5，OP=3cm ； RtOCP中， OC=OB=5cm， OP=3cm ； 由勾股定理，得：CP=4cm； 所以 CD=2PC=8cm ， 故选 C 点评： 此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用 5 （ 3分） （2013?南开区一模）北京市环保检测中心网站公布的2012 年 3 月 31 日的 PM2.5研究性 检测部分数据如

5、下表： 时间0：00 4：00 8：00 12： 00 16：00 20：00 PM2.5（mg/m 3） 0.027 0.035 0.032 0.014 0.016 0.032 则该日这6 个时刻的PM2.5的众数和中位数分别是（） A0.032 ，0.0295 B0.026 ，0.0295 C0.026 ，0.032 D0.032 ，0.027 考点 ：众数；中位数 分析： 根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两 个数的平均数）和众数的定义求解即可 解答： 解：该日6 个时刻的 PM2.5 中 0.032 出现了两次，次数最多， 众数是0.032

6、， 把这六个数从小到大排列为：0.014 ， 0.016 ， 0.027 ， 0.032 ， 0.032 ， 0.035 ， 所以中位数是（0.027+0.032 ）2=0.0295， 故选 A 点评： 本题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中 间的那个数 （最中间两个数的平均数），如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新 排列，就会出错，众数是一组数据中出现次数最多的数 6 （ 3分） （2012?安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植 草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，

7、则阴影部 分的面积为（） A2a 2 B3a 2 C4a 2 D5a 2 考点 ：正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质 分析： 根据正八边形的性质得出CAB= CBA=45 ，进而得出AC=BC=a，再利用正八边形周围四 个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可 解答： 解：某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小 正方形的边长都为a， AB=a ，且 CAB= CBA=45 ， sin45 =， AC=BC=a， SABC= aa=， 正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：4=a 2 正八边形中间是边长为a 的正方形， 阴影部分的面积为：a 2+a2=2

8、a2， 故选： A 点评： 此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出SABC的值是解题 关键 7 （ 3分） （2007?海南）由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图如图所示，则这个立 体图形应是下图中的（） ABCD 考点 ：由三视图判断几何体 分析： 由俯视图判断出组合的正方体的几何体的列数即可 解答： 解：根据给出的俯视图，这个立体图形的左边有2 列正方体，右边1 列正方体 故选 C 点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查如 果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案 8 （ 3分

9、） （2013?南开区一模）在锐角ABC中， BAC=60 ， BD 、CE为高， F 是 BC的中点，连接 DE 、 EF 、FD，则以下结论中一定正确的个数有（） EF=FD ；AD ： AB=AE ：AC ； DEF是等边三角形 A0 个B1 个C2 个D3 个 考点 ：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线 分析： EF 、 FD是直角三角形斜边上的中线，都等于BC的一半；可证 ABD ACE ；证明 EFD=60 解答： 解： BD 、 CE为高， BEC 、BDC 是直角三角形F是 BC的中点， EF=DF= BC故 此选项正确； ADB= AEC=90

10、，A公共， ABD ACE ，得AD ： AB=AE ： AC 故此选项正确； A=60 ， ABC+ ACB=120 F 是 BC的中点， EF=BF ， DF=CF ABF= BEF ，ACB= CDF BFE+ CFD=120 ， EFD=60 又 EF=FD ， DEF是等边三角形故此选项正确 故正确的有3 个 故选： D 点评： 此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三 角函数的定义，熟练利用相关性质得出是解题关键 9 （3 分） （2010?仙桃）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习图中l甲、 l 乙分别表示甲、乙两人前

11、往目的地所走的路程S（km）随时间 t （分）变化的函数图象以下说法： 乙比甲提前12 分钟到达；甲的平均速度为15 千米 / 小时；乙走了8km后遇到甲；乙出发6 分钟后追上甲其中正确的有（） A4 个B3 个C2 个D1 个 考点 ：函数的图象 专题 ：压轴题 分析： 观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意 义进行解答 解答： 解：乙在28 分时到达，甲在40 分时到达，所以乙比甲提前了12 分钟到达；故正确； 根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度=10=15 千米 /时；故正确； 设乙出发x 分钟后追上甲，则有：x=（ 18+x） ，解

12、得 x=6，故正确； 由知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6=6km ，故错误； 所以正确的结论有三个：， 故选 B 点评： 读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到 函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小 10 （3 分） （2013?南开区一模）如图，二次函数y=ax 2+bx+c（a0）的图象经过点（ 1，2）且与 x 轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中 1x10，1x22，下列结论： 4a+2b+c0，2a+b0，b 2+8a 4ac，a 1，其中结论正确的有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 考点 ：二次函数图象与系数的关系；抛

13、物线与x 轴的交点 专题 ：压轴题 分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴 及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答： 解：由抛物线的开口向下知a0， 与 y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，得c0， 对称轴为x=1， a 0， 2a+b 0， 而抛物线与x 轴有两个交点，b 24ac 0， 当 x=2 时， y=4a+2b+c0， 当 x=1 时， a+b+c=2 2， b 2+8a 4ac， a+b+c=2，则2a+2b+2c=4， 4a+2b+c 0， a b+c0 由，得到2a+2c2， 由，得到2ac 4，4a

14、2c 8， 上面两个相加得到6a 6， a 1 故选 D 点评： 考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定由抛物线开口方向、 对称轴、 抛物线与y 轴的交点、 抛物线与x 轴交点的个数等 二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分 11 （3 分） （2010?黔东南州）计算： （x 2）3= x6 考点 ：幂的乘方与积的乘方 分析： 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算 解答： 解：原式 =x 23 =x 6 故答案为x 6 点评： 此题考查了幂的乘方的性质 12 （3 分） （2012?盐城）分解因式：a 24b2= （a+2b） （a2b） 考点 ：因式分解

15、 - 运用公式法 分析： 直接用平方差公式进行分解平方差公式：a 2 b2=（a+b） （ ab） 解答： 解：a 24b2=（a+2b） （a2b） 点评： 本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键 13 （3 分） （2011?菏泽）从2， 1，0，1，2 这五个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方 程 x 2x+k=0 中的 k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 考点 ：概率公式；根的判别式 专题 ：压轴题 分析： 所得的方程中有两个不相等的实数根，根的判别式=b 24ac 的值大于 0，将各个值代入， 求出值后，再计算出概率即可 解答： 解：=b

16、2 4ac=14k，将 2， 1，0， 1，2 分别代入得9，5， 1， 3， 7，大于 0 的情 况有三种，故概率为 点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1） 0? 方程有两个不相等的实数根； （2）=0? 方程有两个相等的实数根； （3） 0? 方程没有实数根 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14 （3 分） （2013?南开区一模）将一次函数y=x2 的图象平移，使其经过点（2，3） ，则所得直线 的函数解析式是 y=x+1 考点 ：一次函数图象与几何变换 专题 ：待定系数法 分析： 根据平移不改变k 的值可设y=x+b，然后将点（2，3）代入即可得出直

17、线的函数解析式 解答： 解：设 y=x+b， 3=2+b， 解得： b=1 函数解析式为：y=x+1 故答案为： y=x+1 点评： 本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析 式时要注意平移时k 的值不变 15 （3 分） （2013?南开区一模） 如图，四边形 ABCD 内接于 O ，若BCD=130 ， 则BOD= 100 考点 ：圆周角定理 分析： 结合已知条件可以推出 A=50 ，根据圆周角定理即可推出BOD=100 解答： 解：四边形ABCD 内接于 O ，若 BCD=130 ， A=50 ， BOD=100 故答案为100 点评： 本题主要考

18、查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出A的度数 16 （3 分） （2011?宿迁）如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇 形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是4 cm 考点 ：圆锥的计算 专题 ：计算题 分析： 首先求得圆的周长，利用三等分求得扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长求得 底面的半径即可 解答： 解：把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形， 扇形的弧长为：2r=8， 扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 2 r=8， 解得： r=4cm， 故答案为： 4 点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之

19、间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长 是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 17 （3 分） （2013?南开区一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=9 ，点 P是边 BC上的动点（点 P不与点 B，点 C重合），过点 P作直线 PQ BD ，交 CD边于 Q点，再把 PQC沿着动直线PQ对折， 点 C的对应点是R点，则 CQP=30 考点 ：翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质 专题 ：几何图形问题；压轴题 分析： 在 RtABD中，根据 AB 、AD的长，即可求出 ABD 的度数，也就得到 CDB 的度数；而 CQP 和CDB是平行线的同位角，因此这两角相等，由此得出CQP的度

20、数 解答： 解：四边形ABCD 是矩形， A=90 ； RtABD中， AD=3 ，AB=9 ，则 tan ABD=，即 ABD=30 ； CDB= ABD=30 ； PQ BD ， CQP= CDB=30 故答案为： 30 点评： 本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴 对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等 18 （3 分） （2013?南开区一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABO和CBO均 为等腰直角三角形， AOB= COD=90 ，若 BOC的面积为1，试求以 AD 、BC、OC+OD 的长度为三边

21、 长的三角形的面积小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构 成一个三角形，在计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到 E， 使得 OE=CO ，连接 BE，可证 OBE OAD ，从而等到的 BCE即时以 AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边 长的三角形（如图2） （I ）请你回答：图2 中BCE的面积等于2 （II ）请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知 ABC ，分别以AB 、AC 、 BC为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI，连接 EG 、FH、ID 若 ABC的面积为1，则以 EG 、FH 、

22、 ID 的长度为三边长的三角形的面积等于3 考点 ：几何变换综合题 分析： （I ）由等腰直角三角形的性质、旋转的性质知，OEB与BOC是等底同高的两个三角形； （II ）如图 2，根据正方形的性质推知ABE 和ACG都是等腰直角三角形，则根据旋转的性 质推知 SAEG=SAEM=SAMG=SABC=1，所以易求 EGM的面积 解答： 解： （ I ） ABO和CDO均为等腰直角三角形，AOB= COD=90 ， OD=OC， OA=OB 又将 AOD绕点 O顺时针旋转90得 OBE ， DOE=90 ， OD=OE ， 点 C、O 、E三点共线， OC=OE， OEB与BOC是等底同高的两个

23、三角形， SOEB=SBO C=1， SBCE=SOEB+SBOC=2 故答案为： 2； （II ）如图 2，四边形AEDB和四边形ACFG 都是正方形， ABE和ACG都是等腰直角三角形， SAEG=SAEM=SAMG=SABC=1， SEGM=SAEG+SAEM+SAMG=3，即以 EG 、FH、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于3 故答案是： 3 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积、等腰三角形的性质以及正方形的性 质注意平移、旋转的性质的应用 三、解答题：本大题共8 小题，共66 分解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程 19 （6 分） （2013?南开区一模）

24、解不等式组 考点 ：解一元一次不等式组 专题 ：计算题 分析： 分别解两个不等式得到x1 和 x，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的 解集 解答： 解：， 解得 x1， 解得 x， 所以不等式组的解集为x 1 点评： 本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取 小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集 20 （8 分） （2013?南开区一模）我市公安部门加大对“酒后驾车”的处罚力度后，某记者在某区随 机选取了几个停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：A、醉酒后开车； B、 喝酒后不开车或请专业司

25、机代驾；C、 少量饮酒， 但体内酒精含量未达到酒驾标准；D、 从不喝酒 将 这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图1 和图 2，请根据相关信息，解决下列问题 （I ）该记者本次一共调查了200 名司机； （II ）图 1 中情况 D所在扇形的圆心角为162 ； （III）补全图2； （IV ）若该区有3 万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为29700 人 考点 ：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 分析： （1）从扇形图可看出A种情况占1% ，从条形图知道有2 人，可求出总人数； （2）求出 D所占的百分比然后乘以360就可得到圆心角度数； （3）分别求出情况B、C的人数即可

26、补全图二； （4） 3 万人数乘以不违反“酒驾”禁令的人数所占的百分比即可求出答案 解答： 解： （ 1）该记者本次一共调查的司机数是：21%=200名； （2）图一中情况D所在扇形的圆心角为360=162； （3）如图： （4）若该区有3 万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为：3000099%=29700 人 故答案为： 200；162；29700 点评： 本题考查对扇形图和条形图的认知能力，知道扇形图表现的是部分占整体的百分比，条形图 告诉我们每组里面的具体数据，从而可求答案 21 （8 分） （2008?兰州）已知正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=（k 为常数， k0）的

27、 图象有一个交点的横坐标是2 （1）求两个函数图象的交点坐标； （2）若点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，且x1x2，试比较y1，y2 的大小 考点 ：反比例函数综合题 专题 ：综合题 分析： （1）交点的坐标就是方程组的解，把X=2代入解次方程组即得交点坐标； （2）根据反比例函数的增减性和图象位置，通过分类讨论，就能比较y1，y2的大小 解答： 解： （ 1）将 x=2 代入正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=中，得： 2k=， 解得： k=1 正比例函数的表达式为y=x，反比例函数的表达式为y= x=， 即 x 2=4， 得 x=2 两函数图象交

28、点的坐标为（2，2） ， （ 2， 2） ； （2）反比例函数y=的图象分别在第一，三象限内，在每一象限内y 的值随 x 值的增大而 减小， 当 x1x20 时， y1 y2 当 0x1x2，时， y1y2 当 x10x2时，因为，所以 y1y2 点评： 本题考查了反比例函数的综合应用，能够熟练根据解析式求得点的坐标是解决此题的关键 22（8 分） （2013?南开区一模） 如图，已知：ABC内接于 O ，点 D在 OC的延长线上， B=D=30 （1）判断直线AD与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC=6 ，求O 的半径和线段AD的长 考点 ：切线的判定；等边三角形的判定与性质；勾股

29、定理；圆周角定理 专题 ：证明题 分析： （1）连接 OA ，根据圆周角定理求出O的度数，根据三角形的内角和定理求出OAD ，根据 切线的判定推出即可； （2）得出等边三角形AOC ，求出 OA ，根据锐角三角函数的定义得出tanO=，代入求出即可 解答： （1）解：直线AD与O 的位置关系是相切， 理由是： 连接 OA ， 弧 AC所对的圆心角是 AOC ，所对的圆周角是 ABC ，ABC=30 ， AOC=60 ， D=30 ， OAD=180 3060=90， OA AD ， OA是O 半径， AD是O 切线， 即直线 AD与O 的位置关系是相切； （2）解：由（1）知： AOC=60

30、， OA=OC ， AOC是等边三角形， OA=OC=AC=6， 在 RtOAD中，tan60=， AD=6， 答：O 半径是 6，AD长是 6 点评： 本题考查的知识点是切线的性质和判定，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定， 三角形的内角和定理，圆周角定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力 23 （8 分） （2007?十堰）某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实 践活动，他们在河边的一点A测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为 66、塔底B的仰角 为 60，已知铁塔的高度BC为 20m （如图），你能根据以上数据求出小山的高BD吗？若不能，请

31、说 明理由；若能，请求出小山的高BD （精确到0.1m） 考点 ：解直角三角形的应用- 仰角俯角问题 专题 ：数形结合 分析： 在 RtABD中，知道 BAD=60 ，在Rt ACD中知道 CAD=66 ， AD是 RtABD和 RtACD 的公共边，求BD的长，而 DC=BD+BC=BD+20，设 BD为 x，用 AD的长度作为相等关系，列方程 即可求出BD 解答： 解：能求出小山的高 设小山的高BD为 xm ， 在 RtABD中，=tanBAD=tan60 ， AD=， 同理，在RtACD中得 AD=， ， 解得：， 答：小山的高BD约为 67.4m 点评： 主要考查了从实际问题中抽象出几

32、何图形的能力，把实际问题转化为数学问题来解决，本题 主要运用了解直角三角形中的三角函数，所以要掌握一个角所对应正弦，余弦，正切值的表 示方法，并会用三角函数值求边长 24 （8 分） （2013?南开区一模）某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种 进价为每件20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关 系可近似的看作一次函数：y=10x+500 （1）设李明每月获得利润为w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 考点 ：二次函数的应用；一元二次方程的应用

33、 专题 ：应用题；压轴题 分析： 根据理解题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解便可解出答案 把 2000 反代入上述二次函数关系式，根据函数性质，确定单价 解答： 解： （ 1）由题意可得： w=（x20）?y=（ x 20）?（ 10x+500）= 10x 2+700x10000=10（ x35）2+2250， 答：当销售单价定为35 元时，每月可获得最大利润 （2）由题意可知： 10x 2+700x10000=2000 解这个方程得：x1=30，x2=40 答：李明想要每月获得2000 元的利润，销售单价应定为30 元或 40 元 故答案为销售单价定为35 元时，每月可获

34、得最大利润；李明想要每月获得2000 元的利 润，销售单价应定为30 元或 40 元 点评： 本题主要考查了二次函数求最值的方法，以及一元二次方程的解法 25 （10 分） （2010?广州）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0） ， （0，1） ， 点 D是线段 BC上的动点（与端点B、C不重合），过点 D作直线 y=x+b 交折线 OAB于点 E （1）记 ODE的面积为S，求 S与 b 的函数关系式； （2）当点 E在线段 OA上时， 若矩形 OABC 关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是

35、否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理 由 考点 ：一次函数综合题 专题 ：压轴题；分类讨论 分析： （1）要表示出 ODE的面积，要分两种情况讨论，如果点E在 OA边上，只需求出这个三 角形的底边OE长（ E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；如果点E 在 AB边上，这时 ODE的面积可用长方形OABC 的面积减去 OCD 、OAE 、BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部 分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化 解答： 解： （ 1）四边形OABC 是矩形，点

36、A 、C的坐标分别为（3，0） ， （0， 1） ， B（ 3，1） ， 若直线经过点A（ 3，0）时，则b= 若直线经过点B（ 3，1）时，则b= 若直线经过点C（ 0，1）时，则b=1 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图 1， 此时 E（2b，0） S= OE ?CO= 2b1=b； 若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图 2 此时 E（3，） ，D（2b2，1） ， S=S矩（ SOCD+SOAE+SDBE） =3（ 2b2）1+（ 5 2b）?（ b）+3（ b） =bb 2， S=； （2）如图 3，设 O1A1与 CB相交于点M ，OA与 C1B1相交于点N，

37、则矩形O1A1B1C1与矩形 OABC 的 重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积 由题意知， DM NE ，DN ME ， 四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知， MED= NED 又 MDE= NED ， MED= MDE ， MD=ME， 平行四边形DNEM 为菱形 过点 D作 DH OA ，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a， 由题意知， D（2b2，1） ，E（2b，0） ， DH=1 ， HE=2b （ 2b2）=2， HN=HE NE=2 a， 则在 RtDHN中，由勾股定理知：a 2=（ 2a）2+12， a=， S 四边形 DNEM=NE?DH= 矩形 OA1B1

38、C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 点评： 本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定 这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维 能力，但难度较大，具有明显的区分度 26 （10 分） （2011?株洲） 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax 2 （a0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛 物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得（如图 1） ，求 a 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转

39、到如图2所示位置时，过B作 BF x轴于点 F，测 得 OF=1 ，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标4 ； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、 B的连线段总经过一 个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 考点 ：二次函数综合题 专题 ：代数几何综合题；压轴题 分析： （1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax 2（a0）得 a 的值； （2）过点 A作 AE x轴于点 E，可证 AEO OFB ，得出AE=2OE ，可得方程点A的横坐标 （3）设 A （ m ，） （m 0） ，B （ n，） （n 0） ，易知 AEO OFB ，根据相似 三角形的性质可

40、知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0， 2） 解答： 解： （ 1）设线段AB与 y 轴的交点为C ，由抛物线的对称性可得C为 AB中点， ，AOB=90 ， AC=OC=BC=2， B（ 2， 2） ， 将 B（2， 2）代入抛物线y=ax 2（a0）得， （2）解法一：过点A作 AE x轴于点 E， 点 B的横坐标为1， B（ 1，） ， 又 AOB=90 ，易知 AOE= OBF ， 又 AEO= OFB=90 ， AEO OFB ， ， AE=2OE ， 设点 A（ m ，） （m 0） ，则 OE=m ， ， ， m=4 ，即点A的横坐标为 4 解法二：过点A作 AE x轴于点

41、 E， 点 B的横坐标为1， B（ 1，） ， ， AOB=90 ，易知 AOE= OBF ， ， AE=2OE ， 设点 A（ m ，） （m 0） ， 则 OE=m ， ， m=4 ，即点A的横坐标为 4 解法三：过点A作 AE x轴于点 E， 点 B的横坐标为1， B（ 1，） ， 设 A（ m ，） （m 0） ， 则， AOB=90 AB 2=OA2+OB2， （ 1+m ） 2 +（+ m 2）2= +m2+ m 4 ， 解得： m=4 ，即点 A的横坐标为4 （3）解法一：设A （ m ，） （m 0） ，B（n，） （n0） ， 设直线 AB的解析式为：y=kx+b，则， （1

42、）n+（ 2）m得， （8 分） 又易知 AEO OFB ， ， ， mn=4 ， 由此可知不论k 为何值，直线AB恒过点（ 0， 2） （说明：写出定点C的坐标就给2 分） 解法二：点A是抛物线y=x 2 上的点， 设 A（ m ，） （m 0） ，B（n，） （n0） ， 直线 AB与 y 轴的交点为C，根据 SAOB=S梯形 ABFE SAOESB0F=SAOC+SBOC， 可得， 化简，得 又易知 AEO OFB ， ， ， mn=4 ， OC=2为固定值故直线AB恒过其与y 轴的交点C（ 0， 2） ， 说明： mn的值也可以通过以下方法求得 由前可知， 由 OA 2+OB2=AB2，得： ， 化简，得mn=4 本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分 点评： 本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的 关键，综合性较强，有一定的难度