1、高等数学的基础高等数学的基础 函数函数 极限极限 研究的对象研究的对象 研究的方法研究的方法函数 极限 连续第一节函数及性质一、集合与区间一、集合与区间三、函数的几种特性三、函数的几种特性四、反函数四、反函数五、复合函数、五、复合函数、二、函数概念二、函数概念 第一章第一章 初等函数初等函数1.集合的概念集合的概念定义定义集合中的每个事物称为该集合的集合中的每个事物称为该集合的元素元素.元素元素 a 属于集合属于集合 M,记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 M,记作记作不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集,记作记作 .(或或).具有某种特定性质的事物所组成的总体称具有某
2、种特定性质的事物所组成的总体称为为集合集合.一、集合与区间一、集合与区间若集合若集合A的每一个元素都是集合的每一个元素都是集合B的元素的元素,则称则称A是是B的的子集，子集，定义定义记作记作或或表示表示A是是B的的真子集真子集.如果集合如果集合A与集合与集合B互为子集互为子集,即即且且就称就称A与与B相等相等.记作记作BA(1)列举法：列举法：例：例：有限集合有限集合自然数集自然数集(2)描述法：描述法：x 所具有的特征所具有的特征按某种方式列出集合中的全体元素按某种方式列出集合中的全体元素.注注 设设 M 为数集为数集,则则表示表示M中排除了中排除了 0 的集的集;表示表示M中排除了中排除了
3、 0 与负数的集与负数的集.2.集合的表示法集合的表示法例例 整数集合整数集合或或有理数集有理数集 p 与与 q 互质互质实数集合实数集合 x 为有理数或无理数为有理数或无理数开区间开区间闭区间闭区间常用集合记号常用集合记号:R:实数集合实数集合;N:自然数集合自然数集合;Z:整数集合整数集合;Q:有理数集合有理数集合;C:复数集合复数集合.(1)(1)区间区间 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为称为开区间开区间,称为称为闭区间闭区间,实数集实数集实数集实数集即即即即3.区间和邻域区间和邻域无穷区间无穷区间:
4、半开区间：半开区间：以上这些区间统称为以上这些区间统称为有限区间有限区间.(2)点点a的的 邻域邻域:其中点其中点 a 称为邻域的中心称为邻域的中心,称为邻域的半径称为邻域的半径.点点a的的去心去心 邻域邻域:点点a的的左左 邻域邻域:点点a的的右右 邻域邻域:二、映射二、映射引例引例1 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座按一定规则入座1.映射的概念映射的概念引例引例2f:定义定义设设 X,Y 是两个非空集合是两个非空集合,如果按照某种如果按照某种对应法则对应法则 f,使得使得有
5、有唯一确定唯一确定的的和它对应和它对应,则则称称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射,记作记作元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的象象,记作记作元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的一个下的一个 原象原象.集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域,记作记作Y 的子集的子集称为映射称为映射f 的的值域值域,记作记作特别地特别地,当当 Y 是实数集合时是实数集合时,称称 f 为定义在为定义在 X 上的上的泛函泛函.若若 X,Y 均为实数集合均为实数集合,则称则称 f 为定义在为定义在 X 上的上的一元函数一元函数.注注2 在不同数学分
6、支中在不同数学分支中,映射映射 f 又可称为又可称为变换变换或或算子算子.3元素元素 x 的像的像 y 是唯一的是唯一的,但但 y 的原像不一定唯一的原像不一定唯一.1 映射的三要素：映射的三要素：定义域定义域,对应规则对应规则,值域值域.如：如：2.几类常见的映射几类常见的映射对映射对映射(1)若若,则称则称 f 为为满射满射;(2)若若有有则称则称 f 为为单射单射;(3)若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射(或写成或写成1-1 映射映射).三、函数的概念及图形三、函数的概念及图形1.函数的概念函数的概念 定义定义1 设数集设数集则称
7、映射则称映射为定义在为定义在D 上的一元函数上的一元函数,记为记为x 称为称为自变量自变量,y 称为称为因变量因变量,D 称为称为定义域定义域,f(D)称为称为值域值域.函数图形函数图形:称点集称点集为函数为函数 f 的图形的图形.定义域定义域值域值域对应法则对应法则注注 1 函数的二要素函数的二要素 定义域定义域 D 对应法则对应法则 fRf对应法则对应法则 f自变量自变量因变量因变量例例1 下列各组函数是否相同？下列各组函数是否相同？(1)答：答：不同不同,因为二者定义域不同因为二者定义域不同.前者的定义域为前者的定义域为(2)而后者的定义域为而后者的定义域为答：答：不同不同,因为二者的因
8、为二者的对应法则不同对应法则不同.注注 xyO答：答：相同相同.(3)两个函数是否相同，仅取决与两个函数是否相同，仅取决与D 和和 f，而，而与与f 的表达形式无关，也与变量的记号无关的表达形式无关，也与变量的记号无关!2 定义域：定义域：使表达式及实际问题都有意义的使表达式及实际问题都有意义的自变量所能取得的一切实数值所自变量所能取得的一切实数值所组成的集合组成的集合.例例2解解1 1-1-1xyo(1)(1)符号函数符号函数2.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例(2)绝对值函数绝对值函数xyO(3)取整函数取整函数 y=x,x R阶梯曲线阶梯曲线x表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最
9、大整数.1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 -1-3xyO3421四、函数可能具有的几种特性四、函数可能具有的几种特性设函数设函数又数集又数集1.有界性有界性则称则称 在在I上有界上有界.为为有界函数有界函数.M-MyxOy=f(x)X注注1 还可定义有上界、有下界还可定义有上界、有下界.则称则称 f(x)在在 I 上上无界无界.称称 为为有上界有上界称称 为为有下界有下界使得使得2 f(x)在数集在数集 I上上无界无界：xyOM1有上界有上界xyOM2有下界有下界M-MM-MxyOX函数有界函数有界 既有上界又有下界既有上界又有下界4函数有界与否与数集函数有界与否与数集I 密切相关
10、密切相关;3xyO 1M-M在在 I 上上单调减少单调减少.当当时时,称称 在在 I 上上单调增加；单调增加；称称 单调增加或单调减少的单调增加或单调减少的函数函数 统称为统称为单调函数单调函数.2.单调性单调性注注 函数单调与否同所论区间有关函数单调与否同所论区间有关.有有若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.说明说明:若若在在 x=0 有定义有定义,则当则当为奇函数时为奇函数时,3.奇偶性奇偶性yxOx-x偶函数的图形关偶函数的图形关于于y 轴对称轴对称奇函数的图形关奇函数的图形关于原点对称于原点对称例例3证证 令令则则由由消去消去得得显然显然又又
11、故故为奇函数为奇函数.且且证明证明时时其中其中为常数为常数,且且为奇函数为奇函数.设设4.周期性周期性且且则称则称为为周期函数周期函数,若若称称 T 为为周期周期.周期为周期为 周期为周期为(通常说周期函数的周期是指其通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期).例如例如:常量函数常量函数 狄里克雷函数狄里克雷函数x 为有理数为有理数,x 为无理数为无理数;注注1 周期函数的定义域既无上界也无下界周期函数的定义域既无上界也无下界.思考：思考：是周期函数吗？是周期函数吗？2 并非任何一个周期函数都有最小正周期并非任何一个周期函数都有最小正周期.答：答：不是不是.每一个正数都是其周期每一个正数
12、都是其周期.每一个正有理数都是其周期每一个正有理数都是其周期.这两个函数均无最小正周期这两个函数均无最小正周期!五、五、反函数与复合函数反函数与复合函数1.反函数的定义及性质反函数的定义及性质定义定义 若函数若函数是一一映射是一一映射,则存在其则存在其使使其中其中称此映射称此映射为为 f 的反函数的反函数.逆映射逆映射习惯上习惯上,的反函数记成的反函数记成例如例如,函数函数其反函数为其反函数为性质性质:(1)函数函数与其反函数与其反函数的图形关于的图形关于直线直线对称对称.其反函数其反函数(减减)(减减).(2)单调递增单调递增也单调也单调递增递增例如例如,对数函数对数函数互为反函数互为反函数
13、它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线对称对称.指数函数指数函数xyO例例4解解 分段函数的反函数应当逐段求：分段函数的反函数应当逐段求：解得解得反函数为反函数为解得解得反函数为反函数为又对于直接函数又对于直接函数 y=x 3 来说其值域为来说其值域为 1,8 ，故反函数故反函数 的定义域为的定义域为 1,8 ;x 1,8 ;解得解得反函数为反函数为综上所述，所求反函数为综上所述，所求反函数为2.复合函数复合函数 则当则当由上述函数链可定义由上述函数链可定义设有设有函数链函数链记作记作由由 D 到到 Y 的的复合函数复合函数,时时,或或Df(D1)D1D2注注 1 并非任
14、何两个并非任何两个 函数都能构成复合函数，函数都能构成复合函数，函数的复合是有函数的复合是有条件条件的的.条件：条件：如：如：Ou-112 2求复合函数定义域的方法：由求复合函数定义域的方法：由外外向向内内，要求，要求内层函数的函数值落在外层函数的定义域中内层函数的函数值落在外层函数的定义域中.解解故故例例5 六、基本初等函数六、基本初等函数统称为统称为 基本初等函数基本初等函数.幂函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数称为称为初等函数初等函数.否则称为否则称为非初等函数非初等函数.例如例如,并可用
15、并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数,经过经过有限次有限次四则运算和四则运算和复合步骤所构成复合步骤所构成,可表为可表为故为初等函数故为初等函数.初等函数初等函数非初等函数举例非初等函数举例:符号函数符号函数当当 x 0当当 x=0当当 x 0取整函数取整函数当当一般地，不一般地，不能用一个式能用一个式子表示的分子表示的分段函数不是段函数不是初等函数初等函数.内容小结内容小结定义域定义域对应规律对应规律2.函数的特性函数的特性有界性有界性,奇偶性奇偶性,单调性单调性,周期性周期性3.初等函数的结构初等函数的结构1.函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素例例1 已知函数已知函数求
16、求 及及解解函数无定义函数无定义并写出定义域及值域并写出定义域及值域 .定义域定义域 值值 域域=例例2证证设设f(x)是定义在是定义在(-a,a)内的任意函数，证明内的任意函数，证明（1）f(x)+f(-x)是偶函数；是偶函数；（2）f(x)f(-x)是奇函数；是奇函数；（3）f(x)总可以表示为一个偶函数与一个总可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和奇函数之和.(1)令令F(x)=f(x)+f(-x),因为在对称区间因为在对称区间(a,-a)内，内，有有 F(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=F(x),所以，所以，F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数是偶函数.(2)令令F(x)=f(x)f(-x),所以所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函数是奇函数.(3)作以上两个函数的线形组合作以上两个函数的线形组合,可得可得 f(x)=即即 f(x)表示一个偶函数与一个奇函数之和表示一个偶函数与一个奇函数之和.F(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-F(x),例例3 求求的反函数及其定义域的反函数及其定义域.解解 当当时时,则则当当时时,则则当当时时,则则反函数反函数定义域为定义域为令令则则故故解解例例4例例5解解例例6解解例例7解解_O1-1xy例例8已知已知解解故故又因又因所以所以从而从而的定义域为的定义域为
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