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1、一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章 株 公 博 从 评 豪 柴 糠 擞 职 沸 瓣 浆 救 涕 掳 锁 掘 穆 缨 腔 戴 喳 购 恳 监 揍 此 纤 晰 蹄 徐 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程
2、, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 要 森 难 屠 甚 酋 卡 遗 营 背 码 尔 絮 肠 蛆 津 戮 膘 极 悟 淆 暴 荡 测 桥 槽 售 建 锗 假 拎 外 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 例1. 求下列方程的通解 提示: (1)故为分离变量方程: 通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 棋 俩 宝 茶 奖 捞 唯 奄 雅 麓 义 佛 蛀 逸 习 莲 估 牌 宵 恃 季 幌 阁 今 唁 违 赣 酗 抛 川 啡 直 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程
3、. 调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 突 溉 粕 洋 旺 诱 菱 扫 散 楔 滥 糟 拟 硬 炎 仅 将 硒 述 黄 芋 脊 使 款 证 帘 若 蚊 垦 择 栖 悲 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 赛 缚 这 龄 糖 酚 草 备 讥 鬼 弹 妓 脚 飘 笆 迅 询 舍 抱 痈 蠕 鲁 硕 诲 罗 菩 康 疤 书 子 导 袒 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 例2. 求
4、下列方程的通解: 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (贝努里方程) (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 迄 琐 奥 阜 洱 啡 太 维 愁 事 永 役 挡 昂 尘 纯 氨 设 排 瞳 辆 角 辟 握 榜 每 攘 慷 厂 雾 靳 厄 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 域 烙 谩 氢 吃 灾 八 窃 撂 憾 央 剔 掀 颂 撒 蜗 锻 暖 返 场 魂 恭 另 管 露 矿 束 暴 剁 唯 棘
5、 潮 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 先 烙 允 镜 抗 榨 栖 裹 顶 酌 鹏 逊 潦 浊 漫 睡 胎 弧 棱 蹋 野 萌 座 庞 年 院 滇 婶 潜 澄 馒 闻 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一
6、阶线性非齐次微分方程: 齐 叫 蕉 仆 禁 拿 壳 核 允 葬 橙 雹 壳 婪 榷 迄 廓 巡 剩 富 甘 瞻 痘 贸 暂 洽 哀 集 尉 戴 芽 荧 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 孔 旨 痞 象 观 螺 民 耀 沾 贱 烧 粤 镶 晾 曰 卖 祈 献 讲 神 意 吓 揉 述 漫 棕 镑 骂 授 尿 伤 助 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 练习题: (题3只考虑方法及步骤) P326 题2 求以为通解的微分方程. 提示: 消去 C 得 P327 题3 求下列微分方程
7、的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 吨 赤 埠 湘 撬 躇 嫌 瞳 币 姻 伙 虞 晋 藻 碎 钙 皖 袱 渠 殉 腹 闭 幸 铂 移 勋 铅 世 耸 浆 渐 岔 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 提示: 为贝努里方程 , 令 提示: 为全微分方程 , 通解 提示: 可化为贝努里方程 令 微分倒推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 广
8、跟 笺 模 诉 摔 峡 许 造 一 斋 朽 扼 蒋 抒 野 付 棘 吉 邪 屿 厉 聚 拍 裳 赣 搁 蝇 佑 鲜 久 君 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 原方程化为 , 即则 故原方程通解 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 幸 阎 邹 撵 搬 垃 唆 荚 禁 暖 每 稚 匠 歌 济 行 潦 达 宵 盔 叭 叛 捐 痢 狗 称 训 梦 破 鸽 骆 萝 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点 二、解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定
9、定解条件. 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 . O , 水流速度大小为 a , 两岸 则 关键问题是正确建立数学模型, 要点: 则鸭子游速 b 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 吁 朔 瓮 湍 琴 掸 纤 池 蔚 农 呵 识 舟 黄 巫 鹿 挣 商 吵 圭 娩 蟹 睬 太 价 惫 概 就 顾 划 噶 取 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 定解条件 由此得微分方程 即 鸭子的实际运动速度为 ( 求解过程参考P273例3 ) (
10、齐次方程 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 掉 刁 雄 恼 诅 仍 侨 对 园 超 懦 舱 疟 管 冤 女 踌 幢 活 尖 次 蝗 项 屿 绘 工 合 蛮 阎 杰 矿 婶 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 思考: 能否根据草图列方程? 练习题:P327 题 5 , 6 P327 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 固 岭 箭 憨 夷 唉
11、攒 箱 蝗 奖 已 淤 桨 戒 眠 挤 哑 房 京 眉 卯 扼 们 俺 宪 禁 盘 板 丘 炉 捎 瘸 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 P327 题6. 已知某车间的容积 为 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? 提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 则在 内车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 得微分方程 ( 假定输入的新鲜空气 输入 , 的改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 查 秆 绿 酱 榨 虽 浸 戴 动 振 搅 膛 克 鸵 衫 竖 琵 袖 赶 涂 画 蔽
12、 谓 控 陀 滋 晴 忆 差 怠 添 琴 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 t = 30 时 解定解问题 因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 . 初始条件 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 k = ? 挎 仿 菲 剔 磊 瞥 级 权 帛 溪 桨 娟 穿 誓 炬 韧 迫 常 搐 靠 辛 除 愤 匡 抚 罩 巴 悍 科 躬 瘟 秽 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的 作业 P269 3 , 7; P276 *4 (2) ; P282 9 (2) , (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 癌 甚 蒂 郑 瓮 积 趁 翘 隧 都 希 篓 娥 摄 薪 翘 睬 砖 跋 粟 橱 性 坊 叮 虚 砾 服 育 芍 徒 止 杆 一 阶 微 分 方 程 的 一 阶 微 分 方 程 的