1、 本科毕业论文题 目: 幂级数的典型应用 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 罗云云 学 号： 091901301030 指导教师：管 毅 教师职称： 讲 师填写日期：2013年 5月 2日19 / 23摘要幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中，很难用初等数学的方法进展计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中
2、的应用.关键词:幂级数;微分方程;不等式AbstractPower Series is a kind of series of functions with a simple format; its application is very broad. In some operations, it is difficult to use the method of elementary mathematics to calculate. At this time, some plex problems can be simplified by using the quality and exp
3、ansion of power series.Based on the inductive methods, starting from the definition of power series, and then give the convergence domain of the power series, important theorem and power series expansion to summarize the four applications of the power series: first, in the application of approximate
4、 calculation; Second, in the application of inequality proof; Third, in the application of differential equations; Last, in the application of the determinant calculation.Keywords: Power series; Differential equations; Inequality目 录摘要IAbstractII第一章前言1第二章幂级数的根本知识2第一节定义2第二节和函数2第三节幂级数收敛域4第四节函数的幂级数展开5一、
5、函数的泰勒展开式5二、常见函数的麦克劳林展开式6第三章幂级数的应用7第一节在近似计算中的应用7第二节在不等式证明中的应用7第三节在微分方程中的应用9第四节在行列式计算中的应用11致14参考文献15第一章 前言级数是高等数学体系的重要组成局部,它是在生产实践和科学实验的推动下逐步形成和开展起来的.中国晋时期的数学家徽早在公元263年就创立了“割圆术,其要旨是用圆接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积.这种“割圆术就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题.印度的马德哈瓦在14世纪就提出了函数展开成无穷级数的概念,他首先提出了幂级数的概念,并对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近
6、等做了研究.同时,他开场探究无穷级数的敛散性方法.到了19世纪，高斯、欧拉、柯西分别得出了各种判别级数敛散性的方法,使得级数理论全面开展起来.中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对初等函数的幂级数展开进展了深入的研究.而今,级数的理论已经开展得相当丰富和完整,级数既可以用来表示函数、研究函数的性质,也可以作为进展数值计算的一种工具.它在自然科学、工程技术等方面都有广泛的作用.幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中,很难用初等数学的方法进展计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的
7、方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.第二章 幂级数的根本知识第一节 定义在函数级数中有一类构造简单、应用广泛的特殊的函数级数()=(y)(y)(y),称为幂级数，其中，都是常数，称为幂级数的系数.特别地，当y，上述幂级数就化为最简单形式的幂级数.第二节 和函数设的收敛半径为(),为和函数，那么有以下定理成立：定理 假设幂级数与的收敛半径分别是正数与, 那么.证明 首先证明.,.级数收敛.,有 ,极限 ,从而数列 有界,即,有
8、于是, .根据比拟判别法，级数绝对收敛，即. 其次证明,.,.级数收敛.,有.极限，所以数列有界，即有.于是, .根据比拟判别法，级数绝对收敛，即. 综上所证,.定理假设幂级数的收敛半径, 那么,它的和函数由到可积,且可逐项积分,即.证明 ,使.幂级数闭一致收敛.和函数由到可积, 且可逐项积分,即.根据定理1,此幂级数的收敛半径也是.定理假设幂级数的收敛半径,那么它的和函数在区间可导,且可逐项微分,即,有().证明 根据定理1,幂级数的收敛半径也是.,使.幂级数闭一致收敛.和函数在可导,从而和函数在区间可导,且可逐项微分,即,有().第三节 幂级数收敛域幂级数. 现在讨论幂级数的收敛问题，显然
9、幂级数在处总是收敛的，我们有以下定理：定理4 假设幂级数在收敛，那么对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；幂级数在时发散，那么对满足不等式的任何，幂级数发散.证明 设幂级数收敛，从而数列收敛于零且有界.即存在某正数，使得.另一方面对任意一个满足不等式的，设，那么 .由于级数收敛，故幂级数当时绝对收敛.现在证明定理的第二局部.设幂级数在是发散，如果存在某一个，它满足不等式，且使级数收敛，那么由定理的第一局部知道，幂级数应在时绝对收敛.这与假设矛盾，所以对一切满足不等式的幂级数都发散.那么可知道幂级数的收敛域是以原点为中心的区间，假设以表示区间的长度，那么称为幂级数的收敛半径.事实上，它就是
10、使得幂级数收敛的那些收敛点的绝对值的上确界，所以：当时，幂级数仅在处收敛；当时，幂级数在上收敛；当时，幂级数在收敛；至于，幂级数可能收敛也可能发散.我们称为幂级数的收敛区间.第四节 函数的幂级数展开一、函数的泰勒展开式定义 假设函数在点存在阶导数,那么有这里为佩亚诺型余项,称为在点的泰勒公式.当时,式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义 假设函数在点的某领域为存在直至阶的连续导数,那么这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称为在点的泰勒公式.当时,(3)式变成,称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.二、常见函数的麦克劳林展开式 1.; 2.; 3.; 4.; 5.第三章 幂级
11、数的应用第一节 在近似计算中的应用当的原函数不能用初等函数表示出来,计算的定积分就遇到了困难.现在,我们可以利用幂级数展开式取有限项的方法近似计算这些定积分的值.具体计算时,要求被积函数能够展成收敛的幂级数,且积分区间必须在幂级数的收敛域,然后利用幂级数的逐项积分性质来计算定积分的值.例3.1.1 计算定积分的近似值，要求误差不超过. 解：,上式右端为一交织级数,有，故取前项作为定积分的值,并在计算时取五位小数,可得.例3.1.2 计算积分的近似值，准确到.解:,因为第四项的绝对值 ,取前三项作为定积分的近似值，得.第二节 在不等式证明中的应用在一些不等式的证明中，用初等数学方法往往很难证明，
12、但是利用幂级数展开式能巧妙地将问题化难为易.例3.2.1 证明当时，.证明: 由三角函数的幂级数展开式易知，要 ，即,那么,所以,当时，不等式成立.又 ,，所以,当时,不等式成立. 综上所证，当时,不等式成立.例3.2.2 证明不等式，.证明: .，由于 ，所以就可以得到.第三节 在微分方程中的应用有些微分方程的解不能用初等函数或积分来表示,此时常常用幂级数求出它的解.如果所求方程满足初始条件的特解,其中函数是、的多项式,那么可以设所求特解可展开为的幂级数:, 其中是待定的系数.把带入, 便得一个恒等式,比拟所得恒等式两端的同次幂的系数,就可定出常数,以这些常数为系数的级数在其收敛区间就是方程
13、满足初始条件的特解.如果方程中的与可在展成的幂级数,那么在方程必有形如的解.例3.3.1 求满足的特解. 解: ，设将、代入原方程得即 .根据恒等式两端的同次幂的系数，得，所以，原式的解为：.例3.2.2 求方程的解.解：设微分方程的解是处处收敛的幂级数，即.求微分方程的解，实质上就是求级数的未定系数，.逐项微分两次，即，.代入方程之中，有,即 ,.，.由递推公式有,所以，原方程的解为：，其中、是任意常数.第四节 在行列式计算中的应用假设一个行列式可看作的函数一般是x的n次多项式,记作,按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.还可以利用幂级数的变换计算行列式,当利用幂级数的变换计
14、算行列式时,往往要找到行列式序列的递推关系式,设出与行列式序列对应的幂级数,根据递推关系出现的具体情况,对假设出的幂级数进展恰当运算,最后求出幂级数,通过比拟幂级数的系数可得到阶行列式的值.例3.4.1 求n阶行列式 . 解: 记,按泰勒公式在z处展开：, 易知 . 由得,时都成立.对行列式求导,有.于是在处的各阶导数为：;,把以上各导数代入式中,有假设,有 ,假设,有 .例3.4.2 计算行列式.解: 当时,;当时,;当时,将按第一列展开，即得 ,此行列式序列,是著名的斐波那契数列,开场两项为,以后各项均为前两项之和,即，.数列的构造规那么可表示为差分方程初始值条件为 ,.设 , 分别用，乘
15、以式得：, 由可得：,由可知： ,解方程，得，；所以有，, . 由和的系数可得：.致踉踉跄跄的折腾了两三个月,论文得以成形,根本上到达了预期的效果,但由于能力和时间的关系,总是觉得有很多不敬人意之处.在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍,同学和教师的热情帮助下逐一克制了.尤其是要深深地感我的论文指导教师-管毅教师,他给了我无私的指导和帮助,他严肃的科学态度,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,深深地感染着、鼓励着我,同时在思想上和生活上给我以无微不至的关心,在此谨向管教师致以诚挚的意和崇高的敬意.其次还要感我的室友和论文小组的同学们,在我论文的撰写和排版工作上,给了我很多的建议和帮助,正是
16、由于有了你们的帮助,本文才得以那么快完成,在此一并表示由衷的感.最后由于本人学术水平有限,所以论文难免有缺乏之处,恳请各位教师和学友加以批评指正.参考文献1玉琏.数学分析讲义M.第二版，: 高等教育，2003.12.2京一，晓晞.高等数学M .：科学，2007.3淑辉.幂级数的应用J.教育学院学报,2005,23(2):95-97.4文丽，吴大良.高等数学M.：大学，1999.5财经大学应用数学系主编.高等数学M.：财经大学，2003.6王伟珠.函数的幂级数展开式的应用J.学院学报自然科学版),2012,8(9):4-6.7周海兵,欣星.幂级数在高等数学中的应用J.高等函授学报自然科学版, 2
17、006,19(4):24-26.8裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M .：高等教育，1983.文一：历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和教师的帮助下度过了。尤其要强烈感我的论文指导教师XX教师，她对我进展了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进展论文的修改和改良。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的教师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位教师表示最中心的感！感这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完本钱篇论文的写作。感我的同学和朋友，在我写论文的
18、过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有缺乏之处，恳请各位教师和学友批评和指正！ 文二：致 本研究及学位论文是在我的导师*教师的亲切关心和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和鼓励着我。*教师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关心，在此谨向*教师致以诚挚的意和崇高的敬意。我还要感在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克制一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开场进入课题到论文
19、的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请承受我诚挚的意!最后我还要感培养我长大含辛茹苦的父母，你们! 最后，再次对关心、帮助我的教师和同学表示衷心地感！ 文三：免费毕业论文致的相关文章。致 四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开场。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急迫地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的教师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营
20、造了一种良好的精神气氛。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅承受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了根本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村。 感我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远安康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开场进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请承受我诚挚意！ 同时也感学院为我提供良好的做毕业设计的环境。 最后再一次感所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以
21、及在设计中被我引用或参考的论著的作者。本研究及学位论文是在我的导师建立副教授的亲切关心和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和鼓励着我。从课题的选择到工程的最终完成，教师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。两年多来，教授不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关心，在此谨向教师致以诚挚的意和崇高的敬意。 在此，我还要感在一起愉快的度过研究生生活的电工楼105各位同门，正是由于你们的帮助和支持，我才能克制一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。特别感我的师妹叶秋香同学，她对本课题做了不少工作，给予我不少的帮助。 在论文即将完
22、成之际，我的心情无法平静，从开场进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请承受我诚挚的意!最后我还要感培养我长大含辛茹苦的父母，你们! 本自第一文网.diyifanwen.，请保存此标记。论文的所有研究工作从论文的选题、实现条件到论文的写作等阶段都是在简弃非副教授和勇副教授的悉心指导下完成的。两位导师在作者研究生学习期间在学术和生活等方面的给予了无微不至的关心和指导。两位导师严谨的治学态度、渊博的学术知识、诲人不倦的敬业精神以及宽容的待人风使作者获益颇多。谨向两导师致以最衷心的感。 感在研究生学习期间给我上课的教师们，特别是研室的梁荣光教授、赖汉闻教师、吴坚教师、国强教师、巫江虹教师等。 感我认识的师兄弟、师姐妹们。需要一一感我的同学们，有幸与你们同学是我读研的最大收获：感给我带来的不一样的体验的国超、绍云两位军队的老大哥；感会平，本论文撰写得到你不少帮助，从你身上学到不少东西；感我的合作者胡永飘；感给我帮助的叶子波；感双重校友海燕；感带给我多彩生活的梁立明；感关心和帮助我的长溪。同时还要感宿友叶艳辉。
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