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1、椭圆族连接函数基础上生存分析建模探究引言关于独立的失效时间随机变量的竞争风险模型被许多领域学者研究过.后来发展到统计学,经济学，医学，人口学以及精算学的大量研究者考虑了失效时间随机变量下的竞争风险模型.竞争风险模型也称减量模型，Elandt-Johnsonliil的工作一直都在失效时间变量间相依假设下进行研究.后来,Yashin et al.i2在给定随机协过程假设下，考虑死亡时间的条件独立性模型.在给定随机协过程假设下，给出死亡时间条件独立性弱假定的竞争风险模型由Framingham Heart Study的以死因区分死亡率数据得到进一步验证.Yashin. All2),Manton. ,
2、Stallard. 等人论文中条件独立性得出的结果对比标准边际独立模型发现：前一模型更符合逻辑，对比显示后者高估了30岁忽略癌症假设时影响预期寿命值的4%及心脑血管疾病假设值的7%，80岁时忽略癌症达11%及心脏病的16%.结果表明，特别在关注老年死亡率时恰当数据应避免标准边际独立假设的重要性.基于copula的竞争风险模型边际生存函数的可识别性问题由Tsiatisl Prentice et al.:Heckman和Honorels以及后来的Carriere论文中进行过深入研究.再后来EscareWiG以及Carriere用二维copula建模了两失效时间之间的相依性.Cai riere运用二
3、元高斯copula建模了在两竞争死因中一种死因影响完全剔除的人类生存死亡率模型.随着相关理论的发展以及统计方法的不断改进，通过改进的相依减量模型可以模拟出更贴近实际更加完备的信息.本文，我们先给出了 copula的定义.接着我们引入了椭圆族copula:高斯copula和学生t-copula及介绍了它们的性质,并提供了相关的背景知识.我们描述给定概约生存函数及选择适当的学生t-copula之后，通过解非线性微分方程就可对相应竞争风险模型下的净生存函数进行估值.最后我们应用该方法到美国一般人口数据中，使用一组死因死亡率数据集，该数据集由美国国家卫生统计中心NCHS6U供.结果和图表说明二维减量模
4、型在分别完全剔除癌症死因和其他非癌症死因情形下对生存函数具有影响.我们得到的结果和图表说明对二维减量模型在分别完全剔除癌症死因和其他非癌症死因情形下对生存函数的影响,我们的结论表明选择具有不同系数的学生t-copula其在较大的系数r值时的图像下降更快一些，两疾病死因的相关系数T越大，说明两疾病死因的可替代性越强即剔除一死因对另一死因无太大影响，表明对生存函数的下降趋势具有更大的灵敏度影响，更符合实际情形.另外我们也能论证学生t-copula比单参数copula含有更多的参数因而能更好的刻画不同疾病死因之间的相关性这一结论.1预备知识1.1Copula理论知识首先，我们需要定义Copula ，
5、正如学术界公认的Copula理论的提出者Sklar所介绍的:Copula理论的重要发展是基于Schweizer和Sklar在概率测度空间背景下研究它以及Schweizer和Wolff所做的贡献,也有hoeffding,Kimeldorf，Sampson和Deheuvels等人早期独立的工作.1预备知识.31.1 Copula理论知识.31.2生存函数.81.3学生T-Copula的应用背景.112椭圆族Copula对生存分析进行建模.132.1高斯Copula的模拟算法.132.2学生T-Copula的模拟算法.132.3高斯Copula及学生T-Copula的随机模拟.142.3.1相关概约
6、生存函数的分布图.142.3.2相关概约生存函数的密度图.152.3.3高斯Copula的模拟应用.163结论由于数值解的值S W(f) ms:0 t 120,在区间100 t 120接近于0.对区间100 t 120解得的微分方程的数值解也更加困难,得到的数值解可能在Mathematka的精度上也达不到相应要求.另外一些重要的点是微分方程的数值解山和,0 t 40,这些数值解的分布函数基本接近于概率值1,而且在整个年龄区间0t 120都将受概约生存函数的估值部分的影响.这也意味着解出的结果与给定的竞争风险模型下的概约生存函数的拟合结果有关.为了比较并得出更好的结论,我们图中的年龄区间取定为4
7、0岁-110岁之间的年龄分布.运用学生t-copula的二元情形，对固定的p值,显然,如果癌症死因被从二元减量模型中剔除:总生存函数将完全由保留下的唯一的死因即非癌症死亡因素决定.反之亦然，即净生存函数与当癌症死因被移除之后的总生存函数保持一致.然而:为了研究当癌症因素被剔除后的总生存函数:可以直接研究非癌症死因作用下的净生存函数S Wy.我们通过模拟学生t-copula的表达式并运用Mathematica软件得到的图表结果说明对二维减量模型在分别完全剔除癌症死因和其他非癌症死因情形下对生存函数的影响.结论表明选择具有不同系数值的学生t-copula其在较大的r时的图像下降更快一些,两疾病死因的相关系数t越大，说明两疾病死因的可替代性越强即剔除一死因对另一死因无太大影响，表明对生存函数的下降趋势具有更大的灵敏度影响：更符合实际情形.另外我们也能通过上述实例论证学生t-copula比单参数高斯copula含有更多的参数因而能更好的刻画不同疾病死因之间的相关性这一结论.