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1、第一章综合练习 一、选择题 (每小题 5分，共 60分) 1集合1,2,3 的所有真子集的个数为 () A3 B6 C7 D8 解析： 含一个元素的有 1 ，2 ，3 ，共 3 个；含两个元素的有 1,2 ，1,3 ，2,3 ， 共 3 个；空集是任何非空集合的真子集，故有7 个 答案： C 2下列五个写法，其中错误 写法的个数为 ( ) 0 0,2,3 ；?0 ；0,1,2 ? 1,2,0 ；0? ；0? ? A1 B2 C3 D4 解析： 正确 答案： C 3使根式x1与x2分别有意义的 x 的允许值集合依次为M、F，则使根式x1 x2有意义的 x 的允许值集合可表示为 () AMFBMF
2、C?MFD?FM 解析： 根式x1x2有意义，必须x1与x2同时有意义才可 答案： B 4已知 Mx|yx 22 ，N y|yx22，则 MN 等于( ) ANBMCRD? 解析： Mx|yx22R，N y|yx 22y|y2 ，故 MNN. 答案： A 5函数 yx 22x3(x0)的值域为 ( ) ARB0， ) C2， ) D3， ) 解析：yx22x3(x1)22，函数在区间 0，)上为增函数，故 y(01)22 3. 答案： D 6等腰三角形的周长是20，底边长 y 是一腰的长 x 的函数，则 y 等于() A202x(0y202x，x5. 答案： D 7用固定的速度向图1 甲形状的
3、瓶子注水，则水面的高度h 和时间 t 之间的关系是图1 乙中的 () 甲 乙 图 1 解析： 水面升高的速度由慢逐渐加快 答案： B 8已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是() yf(|x|) yf(x) yxf(x) yf(x)x ABCD 解析：因为 yf(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(x)f(x)yf(|x|)为偶函数；y f(x)为奇函数；令 F(x)xf(x)， 所以 F(x)(x)f(x)(x) f(x)xf(x) 所以 F( x)F(x)所以 yxf(x)为偶函数； 令 F(x)f(x)x，所以 F(x)f(x)(x)f(x)x f(x)
4、x所以 F(x)F(x)所以 yf(x)x 为奇函数 答案： D 9已知 0x3 2，则函数 f(x)x 2x1( ) A有最小值 3 4，无最大值 B有最小值 3 4，最大值 1 C有最小值 1，最大值 19 4 D无最小值和最大值 解析： f(x)x2x1(x 1 2) 23 4，画出该函数的图象知， f(x)在区间0，3 2上是增函数， 所以 f(x)minf(0)1，f(x)maxf(3 2) 19 4 . 答案： C 10已知函数 f(x)的定义域为 a，b，函数 yf(x)的图象如图 2 甲所示，则函数 f(|x|)的图 象是图 2 乙中的 () 甲 乙 图 2 解析：因为 yf(
5、|x|)是偶函数，所以 yf(|x|)的图象是由 yf(x)把 x0 的图象保留，再关 于 y 轴对称得到的 答案： B 11若偶函数 f(x)在区间 (， 1上是增函数，则 () Af( 3 2)2m1 或 2m15， m6. 18(12 分)已知集合 A 1,1，Bx|x 22axb0，若 B? 且 B? A，求 a，b 的 值 解：(1)当 BA1,1时，易得 a0，b1； (2)当 B 含有一个元素时，由 0 得 a 2b， 当 B1 时，由 12ab0，得 a1，b1 当 B 1时，由 12ab0，得 a1，b1. 19(12 分)已知函数 f(x) x axb(a，b 为常数，且
6、a0)，满足 f(2)1，方程 f(x)x 有 唯一实数解，求函数f(x)的解析式和 ff(4)的值 解：f(x) x axb且 f(2)1，22ab. 又方程 f(x)x 有唯一实数解 ax2(b1)x0(a0)有唯一实数解 故(b1) 24a00，即 b1，又上式 2ab2，可得：a1 2，从而 f(x) x 1 2x1 2x x2， f(4) 2 4 42 4，f(4) 8 6 4 3，即 ff(4) 4 3. 20(12 分)已知函数 f(x)4x 24ax(a22a2)在闭区间 0,2上有最小值 3，求实数 a 的值 解：f(x)4 xa 2 222a. (1)当 a 22 即 a4
7、 时，f(x)minf(2)a 210a183，解得： a5 10， 综上可知： a 的值为 1 2或 510. 21(12 分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选 择若该货物在运输过程中(含装卸时间 )的损耗为 300 元/小时，其他主要参考数据如下： 运输工 具 途中速度 (千 米/小时) 途中费用 (元/ 千米) 装卸时间 (小 时) 装卸费用 (元) 汽车50821000 火车100441800 问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？ 解：设甲、乙两地距离为x 千米(x0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和 y
8、2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸 )的费用与时间如下表： 运输工 具 途中及装卸费 用 途中时 间 汽车8x1000 x 502 火车4x1800 x 1004 于是 y18x1000( x 502)30014x1600， y24x1800( x 1004)3007x3000. 令 y1y2200时，y1y2，此时应选用火车 故当距离小于200 千米时，选用汽车较好；当距离等于200 千米时，选用汽车或火车均 可；当距离大于 200千米时，选用火车较好 22(12 分)已知 f(x)的定义域为 (0，)，且满足 f(2)1，f(xy)f(x)f(y)，又当 x2x10 时，f(x2)
9、f(x1) (1)求 f(1)、f(4)、f(8)的值； (2)若有 f(x)f(x2)3 成立，求 x的取值范围 解：(1)f(1)f(1)f(1)，f(1)0，f(4)f(2)f(2)112，f(8)f(2)f(4)213. (2)f(x)f(x2)3， fx(x2)f(8)， 又对于函数 f(x)有 x2x10 时 f(x2)f(x1)， f(x) 在(0，)上为增函数 x0 x20 x x2 8 ? 20 成立，则 x 应满足的条件是 ( ) Ax 1 2 B. 1 20 且 a1)，则有 1 2a 100 得 a(1 2) 1 100. 可得放射性元素满足y( 1 2) 1 100
10、x(1 2) x 100.当 x3 时，y( 1 2) 3 100 100 1 2 3100 0.125. 答案： D 6函数 ylog2x 与 ylog1 2x 的图象 ( ) A关于原点对称B关于 x 轴对称 C关于 y 轴对称D关于 yx 对称 解析： 据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B. 答案： B 7函数 ylg( 2 1x1)的图象关于 ( ) Ax 轴对称By 轴对称 C原点对称Dyx 对称 解析： f(x)lg( 2 1x1)lg 1x 1x，f(x)lg 1x 1xf(x)，所以 ylg( 2 1x1)关于原点 对称，故选 C. 答案： C 8设 abc1，则下列不等式
11、中不正确的是() Aa cbc Blogablogac Cc acb Dlogbcb，则 acbc；ylogax 在(0，)上递增，因为 bc，则 logablogac；yc x 在(，)上递增，因为 ab，则 c acb.故选 D. 答案： D 9已知 f(x)loga(x1)(a0 且 a1)，若当 x(1,0)时，f(x)1.因而 f(x)在(1，)上是增函数 答案： A 10设 a 4 24，b 3 12，c6，则 a，b，c 的大小关系是 () AabcBbcaDa1 与 01 时，图象如下图 1，满足题意 图1图2 (2)当 0f(1)， 则 x 的取值范围是 () A( 1 10
12、，1) B(0， 1 10)(1， ) C( 1 10，10) D(0,1)(0， ) 解析： 由于 f(x)是偶函数且在 (0，)上是减函数，所以f(1)f(1)，且 f(x)在(， 0)上是增函数，应有 x0， 10，且 a1)的反函数的图象过点 (2，1)，则 a_. 解析： 由互为反函数关系知， f(x)过点(1,2)，代入得 a 12? a1 2. 答案： 1 2 14方程 log2(x1)2log2(x1)的解为 _ 解析：log2(x1)2log2(x1)? log2(x1)log2 4 x1 ，即 x1 4 x1 ，解得 x 5(负 值舍去 )，x5. 答案：5 15设函数 f
13、1(x)x1 2，f2(x)x 1，f 3(x)x 2，则 f 1(f2(f3(2007)_. 解析： f1(f2(f3(2007)f1(f2(2007 2)f 1(2007 2)1)(20072)11 22007 1. 答案： 1 2007 16设 0x2，则函数 y4x1 23 2 x5 的最大值是 _，最小值是 _ 解析： 设 2xt(1t4)，则 y 1 2 4 x3 2x51 2t 23t51 2(t3) 21 2. 当 t3 时，ymin1 2；当 t1 时，ymax 1 24 1 2 5 2. 答案： 5 2 1 2 三、解答题 (写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70
14、分) 17(10 分)已知 a(2 3) 1，b(2 3) 1，求(a1)2(b1)2 的值 解： (a1) 2(b1)2( 1 231) 2( 1 231) 2(3 3 23) 2( 33 23) 2 1 6 ( 74 3 23 74 3 23 ) 1 6(74 3)(2 3)(74 3)(23) 1 64 2 3. 18(12 分)已知关于 x 的方程 4 x a(8 2) 2 x4 20 有一个根为 2，求 a 的值和方程 其余的根 解：将 x2 代入方程中， 得 4 2 a(8 2) 2 24 20，解得 a2. 当 a2 时，原方程为 4 x 2(8 2)2 x4 20， 将此方程变
15、形化为2 (2 x)2(8 2) 2 x4 20. 令 2 xy，得 2y2(8 2)y4 20. 解得 y4 或 y 2 2 . 当 y4 时，即 2 x4，解得 x2； 当 y 2 2 时，2 x 2 2 ，解得 x 1 2. 综上， a2，方程其余的根为 1 2. 19(12 分)已知 f(x) 2 x1 2 x1，证明： f(x)在区间 (， )上是增函数 证明： 设任意 x1，x2(，)且 x10(a0， 且 a1)的解集 解：f(x)是偶函数，且 f(x)在0，)上递增， f(1 2)0， f(x)在(，0)上递减， f(1 2)0，则有 logax 1 2，或 logax1 时，
16、logax1 2，或 logax a，或 01 2，或 logax a a . 综上可知，当 a1 时，f(logax)0 的解集为 (0， a a )( a，)； 当 00 的解集为 (0，a)( a a ，) 21(12 分)已知函数 f(x)对一切实数 x，y 都满足 f(xy)f(y)(x2y1)x，且 f(1)0， (1)求 f(0)的值； (2)求 f(x)的解析式； (3)当 x0， 1 2时，f(x)3x 2x1.设 yx2x1，则 yx2x1 在(，1 2上是减 函数，所以 yx 2x1 在0，1 2上的范围为 3 4y1，从而可得 a1. 22(12 分)设函数 f(x)l
17、oga(1 a x)，其中 01. 解：(1)证明：设任意 x1，x2(a，)且 x10. a x1x2 x1x2a 0，f(x1)f(x2)，所以 f(x)loga(1 a x)在(a， )上为减函数 (2)因为 01? loga(1 a x)log aa? 1 a x0， 1 a xa 或 x0， 函数图象与 x 轴有两个不同的交点，从而函数有2 个零点 答案： C 2函数 y11 x的零点是 ( ) A(1,0) B1 C1 D0 解析： 令 1 1 x0，得 x1，即为函数零点 答案： B 3下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数yf(x)1 没有零点的是 () 解析： 把 yf(
18、x)的图象向下平移 1 个单位后，只有C 图中图象与 x 轴无交点 答案： C 4若函数 yf(x)在区间 (2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)0 在(2,2)上 仅有一个实数根，则f(1)f(1)的值() A大于 0 B小于 0 C无法判断D等于零 解析： 由题意不能断定零点在区间(1,1)内部还是外部 答案： C 5函数 f(x)e x1 x的零点所在的区间是 ( ) A(0， 1 2) B(1 2，1) C(1，3 2) D(3 2，2) 解析： f(1 2) e20，f(1 2) f(1)0 Bf(x1)f(x2)8. 则水费 y1622(x8)4x1620， x9. 答
19、案： D 10某工厂 6 年来生产甲种产品的情况是：前3 年年产量的增大速度越来越快，后3 年 年产量保持不变，则该厂 6年来生产甲种产品的总产量C 与时间 t(年)的函数关系图象为 () 答案： A 11函数 f(x)|x 26x8|k 只有两个零点，则 ( ) Ak0 Bk1 C0k1，或 k0 解析： 令 y1|x26x8|，y2k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思 想，作出两函数图象可得选D. 答案： D 12利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表： x 0.20.61.01.41.82.22.63.03.4 y2 x 1.1491.5162.02.6393.482
20、4.5956.0638.0 10.55 6 yx 2 0.040.361.01.963.244.846.769.011.56 那么方程 2xx2的一个根所在区间为 () A(0.6,1.0) B(1.4,1.8) C(1.8,2.2) D(2.6,3.0) 解析： 设 f(x)2xx2，由表格观察出x1.8 时，2xx2，即 f(1.8)0； 在 x2.2 时，2 x0，f(4)0，有 f(2)f(3)0，即 00)的近似解 (精确度 0.1) 解：令 f(x)x22x5(x0) f(1)2，f(2)3， 函数 f(x)的正零点在区间 (1,2)内 取(1,2)中点 x11.5，f(1.5)0
21、.取(1,1.5)中点 x21.25，f(1.25)0)的近似解为 x1.5(或 1.4375) 19(12 分)要挖一个面积为800 m 2 的矩形鱼池， 并在四周修出宽分别为1 m,2 m 的小路， 试求鱼池与路的占地总面积的最小值 解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为 800 x m，于是鱼池与路的占地面积为 y(x2)( 800 x 4)8084x1600 x 8084(x 400 x )8084(x 20 x) 240 当x 20 x，即 x20 时，y 取最小值为 968 m 2. 答：鱼池与路的占地最小面积是968 m 2. 20(12 分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生
22、产的年利润分别为P 和 Q(万元)， 这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是 P x 3，Q 10 3 x， 该集团今年计划对这两项生产共 投入资金 60 万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润y(万元)，写出 y 关于 x 的函数关 系式及其定义域 解：投入养殖加工生产业为60x 万元由题意可得， yPQ x 3 10 3 60x， 由 60x0 得 x60，0x60，即函数的定义域是 0,60 21(12 分)已知某种产品的数量x(百件)与其成本 y(千元)之间的函数关系可以近似用y ax 2bxc 表示，其中 a，b，c 为待定常数，今有实际统计数据如下表： 产品数量 x(百件)6
23、1020 成本合计 y(千元)104160370 (1)试确定成本函数 yf(x)； (2)已知每件这种产品的销售价为200 元，求利润函数 pp(x)； (3)据利润函数pp(x)确定盈亏转折时的产品数量(即产品数量等于多少时，能扭亏为 盈或由盈转亏 ) 解：(1)将表格中相关数据代入yax2bxc， 得 36a6bc104 100a10bc160， 400a20bc370 解得 a 1 2，b6，c50.所以 yf(x) 1 2x 26x50(x0) (2)pp(x) 1 2x 214x50(x0) (3)令 p(x)0，即 1 2x 214x500， 解得 x14 4 6，即 x14.2
24、，x223.8， 故 4.20；x23.8 时，p(x)log a(x13)的一个解，则该不等式的解集为() A(4,7) B(5,7) C(4，3)(5,7) D(， 4)(5， ) 解析：将 x6代入不等式， 得 loga9loga19，所以 a(0,1)则 x 22x150， x130， x 22x150， 1 2 x1在(，)上递减且无最小值 答案： A 7方程 (1 3) x|log 3x|的解的个数是 () A0 B1 C2 D3 解析： 图 2 在平面坐标系中，画出函数y1(1 3) x 和 y2|log3x|的图象，如图 2 所示，可知方程有两个 解 答案： C 8下列各式中，
25、正确的是() A( 4 3) 2 3( 1 3) 1 2 D( 3 2) 3(4 3) 3 解析： 函数 yx2 3在(，0)上是减函数，而 4 3( 5 4) 2 3，故 A 错； 函数 yx1 3在(，)上是增函数，而 4 5 5 6，( 4 5) 1 3( 5 6) 1 3，故 B 错，同理 D 错 答案： C 9生物学指出： 生态系统在输入一个营养级的能量中，大约 10%的能量能够流到下一个 营养级，在 H1H2H3这个食物链中，若能使H3获得 10 kJ的能量，则需 H1提供的能量为 () A10 5 kJ B10 4 kJ C10 3 kJ D10 2 kJ 解析： H1 1 10
26、 210，H 110 3. 答案： C 10 如图 3(1)所示， 阴影部分的面积S是 h 的函数 (0hH)， 则该函数的图象是如图3(2) 所示的 () 图 3 解析： 当 hH 2 时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大， S 随之减小，故排除A，B，D. 答案： C 11函数 f(x)在(1,1)上是奇函数，且在 (1,1)上是减函数，若 f(1m)f(m)1mm1， 解得 00 ， 则 f(2009) 的值为 () A1 B0 C1 D2 解析： 由题意可得： x0 时，f(x)f(x1)f(x2)，从而 f(x1)f(x2)f(x3) 两式相加得 f(x)f
27、(x3)，f(x6)f(x3)3f(x3)f(x)， f(2009)f(2003)f(1997)f(5)f(1)log221. 答案： C 第卷(非选择题，共 90分) 二、填空题 (每小题 5分，共 20分) 13.log 2716 log34 的值是 _ 解析： log2716 log34 2 3log34 log34 2 3. 答案： 2 3 14若函数 y kx5 kx 24kx3的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为 _ 解析：kx 24kx3 恒不为零若 k0，符合题意，k0， 0，x2x10， 又k5， 2k1k1. 解得 k4；当 Q? 时，即 2k14. 19 (12 分)
28、已知 f(x)为一次函数，且满足 4f(1x)2f(x1)3x18， 求函数 f(x)在1,1 上的最大值，并比较f(2007)和 f(2008)的大小 解：因为函数 f(x)为一次函数，所以 f(x)在1,1上是单调函数， f(x)在1,1上的最大值 为 maxf(1)，f(1) 分别取 x0 和 x2，得 4f 1 2f 1 18， 4f 1 2f 1 24， 解得 f(1)10，f(1) 11，所以函数 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)11.又因为 f(1)f(2008) 20(12 分)已知函数 f(x)ax 22ax2b(a0)，若 f(x)在区间 2,3上有最大值 5，最小 值 2. (1)求 a，b 的值； (2)若 b0 时，f(x)在2,3上单调递增 故 f 2 2 f 3 5 ，即 4a4a2b2 9a6a2b5 ，解得 a1 b0 当 a0， 3x0， 所以 00，即解不等式： k 2x0时，不等式的解为x0 时，f(x)的定义域为 (，log24 k) (2)由题意可知：对任意x(，2，不等式 4k 2 x0 恒成立得 k4 2 x，设 u 4 2 x， 又 x(，2，u 4 2 x的最小值 1.所以符合题意的实数k 的范围是 (，1)