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1、2014年春高二期末复习备考专题（一）圆锥曲线一、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程(0)(a0,b0)y2=2px参数方程(t为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；
2、长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （c=）2c （c=）离心率e=1准线x=x=渐近线y=x焦半径通径2p焦参数P二、典型例题：1.（2013届北京丰台区一模）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2，)，直线：y=kx+m(k0)交椭圆C于不同的两点A，B。（）求椭圆C的方程；（）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。【答案】（）设椭圆C的方程为，由题意，解得，所以椭圆C的方程为. （）假设存在斜率为
3、k的直线，其垂直平分线经过点Q（0,3），设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0),由得, ，所以,7分, ，, 线段AB的垂直平分线过点Q（0,3），即， ，整理得，显然矛盾不存在满足题意的k的值。2.（湖北省重点中学联考）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为. （I）求椭圆的方程；（II）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.【答案】（I）设椭圆的焦距为，因为，所以，所以. 所以椭圆：（II）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，则所以 ，则，所以点（，0）到直线的距离则显然，若点也在
4、线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要所以当时，当时，又显然, 所以综上，3.（云南师大附中2013届高三高考适应性月考）已知椭圆的焦距为4，设右焦点为，离心率为（1）若，求椭圆的方程；（2）设、为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上证明点在定圆上；设直线的斜率为，若，求的取值范围【答案】解：（）由，c=2，得，b=2 ,所求椭圆方程为. （）设，则，故，. 由题意，得.化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上. 设，则.将，代入上式整理，得 因为，k20，所以， 所以 化简，得解之，得，故离心率的取值范围是. 三、基本方法技巧1、点
5、差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后两式相减，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。例、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆
6、短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出ABAC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有 (1)F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代，解得或直线过定点（0，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。入（1）得直线BC的方程为2)由ABAC得 （2）设直线BC方
7、程为，得， 代入（2）式得，解得或直线过定点（0，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。3、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,建立目标函数，整理,化繁为简. 解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD轴因
8、为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ， 设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ， 由式得 ， 将式代入式，整理得 ，故 由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 四、专题测试一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
9、号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）。1设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）A4 B6 C8 D122已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD3当是第四象限时,两直线和的位置关系是（ ）A平行B垂直C相交但不垂直D重合4到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线5直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（ ）A B C D 6设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）A
10、1 B2 C3 D47直线与曲线的公共点的个数是（ ）A1B2C3 D48已知x，y满足，则的最小值是（ ）A0 B C D29在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（ ）（，）13，13，（13，13）10椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A（0，） B（0，） C，1 D，1二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）。11将直线绕原点逆时针旋转所得直线方程是 。12已知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点，
11、且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。13已知M：Q是轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程为 。14椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为， 则该椭圆的方程为_。 15如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点，F是椭圆的一个焦点，则_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）。16已知点P到两个定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1求直线PN的方程17已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动
12、点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。18过椭圆的右焦点的直线L与圆相切，并且直线L过抛物线的焦点。(1)求、的坐标；(2)求直线L的方程。19已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=1相切，点C在l上（）求动圆圆心的轨迹M的方程；（）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围20已知抛物线的顶点为，焦点 （）求抛物线的方程. （) 过点作直线交抛物线于A、B两点.若直线AO、BO分别交直线l：于两点， 求|MN|的最小值. 21在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。12