信号与系统老师精选例题.ppt

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1、信号与系统,Signals and Systems,信号与系统教研室 电子信息工程学院 2010年,例 判断下列系统是否为线性系统。,解：, 叠加特性, 均匀特性,满足均匀特性和叠加特性，该系统为线性系统。,例 判断下列系统是否为线性系统。,解：,不满足均匀特性，该系统为非线性系统。,例 判断下列系统是否为线性系统。,解：,满足均匀特性和叠加特性，该系统为线性系统。,注：微积分运算是线性运算。, 均匀特性, 叠加特性,线性系统,非线性系统,非线性系统,线性系统,零状态响应非线性,不满足可分解性,例 判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中y(0)为系统的初始状态，x(t)为系统的输入

2、激励，y(t)为系统的输出响应）。,2、零输入线性，系统的零输入响应必须对 所有的初始状态呈现线性特性。,解 ： 分析,任意线性系统的输出响应都可分解为 零输入响应与零状态响应两部分之和,即,1、具有可分解性,3、零状态线性，系统的零状态响应必须对 所有的输入信号呈现线性特性。,因此，判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：,(1) y(t) = sinx(t) (2) y(t) = costx(t) (3) y(t) = 4x 2(t) +3x(t) (4) y(t) = 2tx(t),例 试判断下列系统是否为时不变系统。,时不变系统,时变系统,时不变系统,时变系统,分析: 判断一个

3、系统是否为时不变系统，只需判断当 输入激励x(t)变为x(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否也 变为 y(t-t0)。由于系统的时不变特性只考虑系统的 零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉 及系统的初始状态。,例 计算下列各式,解:,例 写出图示信号的时域描述式。,(1),解:,(1),(2),(2),例 已知x(t)的波形如图所示，试画出x(6-2t)的波形。,解：,例 画出下列信号及其一阶导数的波形，其中T为常数，w0= 2p/T。,解：,(1),(2),(1),例 画出下列信号及其一阶导数的波形，其中T为常数， w0= 2p/T 。,解：,(1),(2),(2),例判断下

4、列离散序列是否为周期信号.,1) x1k = cos(kp/6) 2) x2k = cos(k/6) 3)对x3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列,W0 /2p = 1/12, 由于1/12是不可约的有理数， 故离散序列的周期N=12。,W0 /2p = 1/12p, 由于 1/12p不是有理数， 故离散序列是非周期的。,W0 /2p = 3/8，由于3/8是不可约的有理数， 故离散序列的周期N=8。,1)x1k = cos(kp/6) 2)x2k = cos(k/6) 3)对x3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列,解：,例 画出信号x(t) 的奇、

5、偶分量,例 已知LTI系统在x1(t)激励下产生的响应为y1(t) ，试求系统在x2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。,解：,从x1(t)和x2(t)图形可以看得出，x2(t)与x1(t)存在以下关系,根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解: (1) 求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征方程为,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

6、 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的特解yp(t),由输入x(t)的形式，设方程的特解为,yp(t) = Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,解: (3) 求方程的全解,解得 A=5/2，B= -11/6,解: 系统的特征方程为,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y

7、“ (t)+5y (t) +6y (t) =4x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y (0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3,解得 K1= 6，K2= -5,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y“ (t)+4y (t) +4y (t) = 2x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 2，y(0-) = -1，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,y(0-)=yzi

8、(0-)=K1=2 y(0-)= yzi(0-)= -2K1+K2 = - 1,解得 K1 = 2, K2= 3,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为： y“ (t)+2y (t) +5y (t) = 4x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1，y(0-) = 3，求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1=1 y (0-)= yzi(0-)= -K1+2K2 =3,解得 K1= 1，K2= 2,例 已知某LTI系统的动态方程式为： y(t) + 3y(t) = 2x(t) 系统的冲激响应 h(t)

9、= 2e-3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yzs(t)。,解：,解： 当x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即,动态方程式的特征根s = -3, 且nm, 故h(t)的形式为,解得A=2,例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,解： 当x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即,动态方程式的特征根s = -6, 且n=m, 故h(t)的形式为,解得A= -16, B =3,例3 求例1所述系统的单位阶跃响应 g(t)。 例1 已知某线性时不变系统

10、的动态方程式为,例1 系统的冲激响应为,解：,利用冲激响应与阶跃响应的关系，可得,h(t) = 2e-3t u(t),解：将信号的自变量由t 改为,例,将h()翻转得h(-),将h(-)平移t。当t 0时， x() h(t -)=0,故x(t)*h(t)=0,当t 0时，,解：,例,由此可得,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,解：,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,a) - t -1,b) -

11、1 t 0,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,解:,例 利用平移特性及u(t) * u(t)= r(t) ，计算y(t) = x(t) * h(t)。,y(t) = x(t) * h(t) = u(t) - u(t-1) * u(t) - u(t-2) ,=u(t)*u(t) - u(t-1)*u(t) - u(t)*u(t-2) + u(t-1)*u(t-2),= r(t) r(t -1) - r(t-2) + r(t-3),解:,例 利用等效特性，计算y(t) = x(t) * h(t)。,x (t) = d (t) - d (t-1),x (t)

12、* h(t)= h(t) - h(t-1),解:,例 计算下列卷积积分。,(1),(2),(3),(1),解:,例 计算下列卷积积分。,(1),(2),(3),(2),利用卷积的平移性质和题(1)的结论,(3),例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = x k 初始条件y0 = 0，y1 = -1，输入信号 xk = 2k uk，求系统的完全响应yk。,特征根为,齐次解yhk,解 ： (1) 求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 = 0的齐次解yhk,特征方程为,解 ：,(2) 求非齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 =xk的特解ypk,由输入xk的形

13、式，设方程的特解为,将特解带入原差分方程即可求得常数A= -2。,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = xk 初始条件y0 = 0，y1 = -1，输入信号 xk = 2k uk，求系统的完全响应yk。,解 ：,(3) 求方程的全解，即系统的完全响应yk,解得 C1= -1，C2= 1,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = xk 初始条件y0 = 0，y1 = -1，输入信号 xk = 2k uk，求系统的完全响应yk。,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+3yk-1+2yk-2=xk 系统的初始状

14、态为y-1=0， y-2= 1/2，求系统的零输入响应yzik 。,解： 系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1=1，C2= -2,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+4yk-1+4yk-2=xk 系统的初始状态为y-1=0， y-2= -1，求系统的零输入响应yzik 。,解： 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,解得 C1 = 4, C2= 4,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 =xk 系统的初始状态为y-1 = 2，y-2= -1，y-3= 8， 求系统的零输入响应yzik。,解： 系统的特征方程为

15、,系统的特征根为,解得 C1= 1，C2= 0 ，C3= 5,例 若描述某离散系统的差分方程为:,已知 ,求系统的零状态响应yzs k。,解：,例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。,解：hk满足方程,1) 求等效初始条件,对于因果系统有h-1 = h-2 = 0，代入上面方程可推出,注意：选择初始条件的基本原则是必须将 dk的作用体现在初始条件中。,可以选择h0和h1 或h-1和h0作为初始条件,解：hk满足方程,2) 求差分方程的齐次解,特征方程为,特征根为,齐次解的表达式为,代入初始条件，有,解得 C1=-1，C2= 2,例1 描述某离散因果LTI系统的差

16、分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。,例2 求例1所述系统的单位阶跃响应 gk。 例1 若描述某离散时间LTI系统的差分方程为,例1 所述系统的单位脉冲响应为,解：,利用hk与gk 的关系，可得,hk = -(-1)k + 2(-2)k uk,解:,例3 计算 与 的卷积和。,利用卷积和的起点坐标等于待卷积两序列起点之和，确定卷积和的原点。,解:,例4 计算 与 的卷积和。,解:,例5 计算 与 的卷积和。,利用位移特性,例1 求图示系统的冲激响应，其中h1(t) = e-3t u(t)，h2(t) =(t -1) ，h3(t) = u(t)。,解：,子系统h1(t) 与h2(t) 级联， h

17、3(t)支路与h1(t) h2(t) 级联支路并联。,例2 求图示系统的单位脉冲响应，其中h1k =2kuk， h2k = dk-1 ，h3k = 3kuk，h4k = uk。,解：,子系统h2k与h3k 级联，h1k支路、全通支路与h2k、h3k 级联支路并联，再与h4k级联。,全通支路满足,全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列d k,例5 已知一因果LTI连续系统的冲激响应为h(t) = eat u(t)，判断该系统是否稳定。,解： 由于,当 a0 时，,系统稳定,当 a0 时，,系统不稳定,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yzi(t) (2

18、) 冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t) (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解：,(1),系统的特征方程为 s2 + 7s + 12 = 0,特征根为 s1 = -3, s2 = -4（两不等实根）,零输入响应为,代入初始状态y(0-) , y(0-),解得 A = 6 B = -5,系统的零输入响应为,解：,(2),利用冲激平衡法可求出 C =1 D = -1,系统的零状态响应,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yzi(t) (2) 冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t) (3)完全响应、暂态

19、响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解：,(3),系统的固有响应为,强迫响应为,系统的稳态响应为,暂态响应为,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yzi(t) (2) 冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t) (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解：,(4),该系统为稳定系统,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yzi(t) (2) 冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t) (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4

20、)判断该系统是否稳定。,解：,(1) 系统的特征方程为 r2 3r + 2 = 0,特征根为 r1 = 1, r2 = 2,零输入响应为,代入初始状态y-1 , y-2,解得 A = -1 B = 8,系统的零输入响应为,综合例题 2. 已知某离散因果LTI系统的差分方程为 求: (1)零输入响应yzik (2)单位脉冲响应hk、零状态响应 yzsk (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,综合例题 2. 已知某离散因果LTI系统的差分方程为 求: (1)零输入响应yzik (2)单位脉冲响应hk、零状态响应 yzsk (3)完全响应、暂态响应、稳

21、态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解：,(2),解得 C = -1 D = 2,解：,(2),系统的零状态响应,综合例题 2. 已知某离散因果LTI系统的差分方程为 求: (1)零输入响应yzik (2)单位脉冲响应hk、零状态响应 yzsk (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解：,(3),系统的固有响应为,强迫响应为,系统的稳态响应为,暂态响应为,综合例题 2. 已知某离散因果LTI系统的差分方程为 求: (1)零输入响应yzik (2)单位脉冲响应hk、零状态响应 yzsk (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有

22、响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解：,(4),该系统为不稳定系统,综合例题 2. 已知某离散因果LTI系统的差分方程为 求: (1)零输入响应yzik (2)单位脉冲响应hk、零状态响应 yzsk (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,例3 求 Cn 。,解:,根据指数形式傅里叶级数的定义可得,例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式 。,解：,由图可知,例2,求其功率。,解：,1),2),例3,求其功率。,解：,1),2),例1 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)，试计算对各信号x(2t)

23、， x(t)*x(2t)， x(t)x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。,对信号x(2t)抽样时，最小抽样频率为,4fm(Hz)；,对x(t)*x(2t)抽样时，最小抽样频率为,2fm(Hz)；,对x(t)x(2t)抽样时，最小抽样频率为,6fm(Hz)。,解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：,解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为,由定义可求得,例1 已知描述某LTI系统的微分方程为 y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = x(t)， 求系统的频率响应H(jw)。,例2 已知某LTI系统的冲激响应为h(t) = (e-t-e-2t)u(t)， 求系统

24、的频率响应H(jw)。,解： 利用H(jw)与h(t)的关系,例4 已知描述某LTI系统的微分方程为 y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = 3x (t)+4x(t)，系统的输入 激励 x(t) = e-3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。,解： 由于输入激励x(t)的频谱函数为,系统的频率响应由微分方程可得,故系统的零状态响应yzs (t)的频谱函数Yzs (jw)为,例5 已知一连续时间系统的频率响应如图所示， 输入信号 试求该系统的零状态响应yzs(t)。,解：,利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点，即,可以求出信号x(t)作用在系统上的稳态响应为,例7 已知

25、一LTI系统的频率响应为,(1) 求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应(w)， 并判断系统是否为无失真传输系统。 (2) 当输入为x(t)=sint+sin3t (-t) 时，求系统的零状态响应。,解：(1) 因为,所以系统的幅度响应和相位响应分别为,系统的幅度响应|H(jw)|为常数，但相位响应(w) 不是w的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。,(2),解：,例9 如图所示系统中，已知输入信号x(t)的频谱X(jw)，试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出频谱图，求出y(t)与x(t)的关系。,解：,例9 如图所示系统中，已知输入信号x(t)的频谱X(jw)，试分析系统

26、中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出频谱图，求出y(t)与x(t)的关系。,解：,例9 如图所示系统中，已知输入信号x(t)的频谱X(jw)，试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出频谱图，求出y(t)与x(t)的关系。,解：,例9 如图所示系统中，已知输入信号x(t)的频谱X(jw)，试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出频谱图，求出y(t)与x(t)的关系。,解：,例9 如图所示系统中，已知输入信号x(t)的频谱X(jw)，试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出频谱图，求出y(t)与x(t)的关系。,例5 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。

27、,解：,X(s)为有理真分式，极点为一阶极点。,将上式两端同时乘以s可得,令s=0，上式右端只有k1项不等于零，所以,例5 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。,解：,同理可求出,由此可得,对上式进行拉氏反变换可得,例6 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。,解：,X(s)有1个3阶重极点,将式两端同时乘以(s+1)3可得,令s= -1， 式右端只有k2项不等于零，所以,例6 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。,解：,对式求一阶导数，再令s= -1可得,对式求二阶导数，再令s= -1可得,例7 采用部分分式展开法求下列X(s)的反变换。,解：,X(s)为有理假分式，将其化为有理真分式,

28、利用例1计算结果，以及,可得,例8 求下列X(s)的反变换。,解：,(1)X(s)不是真分式，且有1个2阶重极点,解：,令s2=q,则,(2)X(s) 有1个2阶重极点和一对共轭极点，为计算简便,于是,例4 求下列X(s)的反变换。,解：,k2, k3用待定 系数法求,(3)X(s)不是有理分式，将其表示为,X1(s),X2(s) =X1(s)e-2s,将X1(s)展开为,例8 求下列X(s)的反变换。,例1 系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2x(t) + 8x(t) 激励 x(t) = e-tu(t)，初始状态y(0-)=3， y(0-)=2，求响应y(t)。

29、,解：对微分方程进行单边拉氏变换可得,例1 系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2x(t) + 8x(t) 激励 x(t) = e-tu(t)，初始状态y(0-)=3， y(0-)=2，求响应y(t)。,解：,例3 已知一LTI连续时间系统满足的微分方程为 y(t)+y(t) -2y(t)=3x(t)+2x(t), t 0 试求该系统的系统函数H(s)和单位冲激响应h(t)。,解：,对微分方程两边进行Laplace变换得,根据系统函数的定义可得,进行Laplace反变换，可得,例4 试求零初始状态的理想积分器和理想微分 器的系统函数H(s)。,解：,1）具有零初始状

30、态的理想积分器的输入输出关系为,根据系统函数的定义可得,两边取Laplace变换，可得,解：,2）具有零初始状态的理想微分器的输入输出关系为,两边取Laplace变换，可得,系统的冲激响应为,例4 试求零初始状态的理想积分器和理想微分 器的系统函数H(s)。,例6 判断下述系统是否稳定。,解：,1）极点为s=-1和s=-2，都在s左半平面。,显然输出也有界，所以系统稳定。,若激励为有界输入u(t)，则其输出为,例6 判断下述系统是否稳定。,解：,2）极点为s=j0，是虚轴上的一对共轭极点。,显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。,若激励为有界输入sin(0 t )u(t)，则其输出为,例 画

31、出系统的模拟方框框图,解：,1）直接型框图,例 画出系统的模拟方框框图,解：,2）级联型,例 画出系统的模拟方框框图,解：,3）并联型,综合题1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为,已知 , ,由s域求解：,(1)零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t) ，完全响应y (t) 。 (2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)并判断系统是否稳定。 (3)画出系统的直接型模拟框图。,综合题1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为,解：,已知 , ,由s域求解：,(1)零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t) ，完全响应y (t) 。,(1)对微分方程两边做单边拉普拉斯变换得,

32、零输入响应的s域表达式为,进行拉普拉斯反变换可得,综合题1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为,解：,已知 , ,由s域求解：,(1)零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t) ，完全响应y (t) 。,零状态响应的s域表达式为,进行拉普拉斯反变换可得,完全响应为,综合题1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为,解：,已知 , ,由s域求解：,(2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)并判断系统是否稳定。,(2) 根据系统函数的定义，可得,进行拉普拉斯反变换即得,对于因果系统，由于系统函数的极点为-2,-5， 在左半s平面，故系统稳定。,综合题1：一连续线性LTI因果系统的微分

33、方程描述为,解：,已知 , ,由s域求解：,(3)画出系统的直接型模拟框图。,(3) 将系统函数改写为,综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应,解：,试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。,零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为,激励信号x(t)=u(t),根据系统函数的定义，可得,综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应,解：,试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。,该系统的零点z= -5为，极点为p1= -1, p1

34、= -2，,激励信号x(t)=u(t),零极点分布图,综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应,解：,试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。,由式可得系统微分方程的s域表达式,激励信号x(t)=u(t),两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为,综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应,解：,试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。,将系统函数进行部分分式展开，有,激励信号x(t)=u(t),再进行拉氏反变换，可得系统

35、冲激响应为,由于系统的冲激响应满足,故该系统为因果系统,综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应,解：,试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。,对因果系统，由零极点分布图可看出，系统的极点位于s左半平面，故该系统稳定。,激励信号x(t)=u(t),例1 求以下序列的Z变换及收敛域。,解：,(1),(2),有限长序列z变换的收敛域为|z|0,例2 求RNk=uk-uk-N的z变换及收敛域。,解：,利用因果序列的位移特性和线性特性，可得,由于RNk为有限长序列，故其收敛域为,|z|0,ROC扩大,线性加权后序列

36、z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大,例3 求,解：,利用z变换的卷积特性，以及,可得,设,例5 求aksin(W0k) uk 的z变换及收敛域。,解：,利用z变换的指数加权特性，可得,例6 求xk=(k+1)akuk的z变换及收敛域。,解：,利用z域微分特性，可得,利用z变换的线性特性，可得,例7 已知X(z) = 1/(1-a z-1) , |z| |a|，求x0， x1和 x 。,解：,根据位移特性有,对上式应用初值定理，即得,例7 已知X(z) = 1/(1-a z-1) , |z| |a|，求x0， x1和 x 。,解：,当 时，(z-1)X(z)的收敛域不包含单位圆，终值定理

37、不适用。,当 时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终值定理得,解：,将X(z)化为z的负幂，可得,将X(z)进行z反变换，可得,解：,m=n，由多项式除法可得,G(z),解：,所以,进行z反变换，得,解：,X(z)有一对共轭复根，可以直接利用,由指数加权性质,解：,A=4/3, B=-2/3, C= -1/3,B, C用待定系数法求,解：,例12 ,用留数法求xk。,X(z)z k-1在z=1, z=-0.5有两个一阶极点，其留数为,=1+(-0.5)kuk,解：,例13 某离散LTI系统满足 yk-4yk-1+4yk-2 = 4xk，已知y-1=0 ，y-2=2，xk=(-3)k u

38、k，由z域求yzi k、yzs k、yk。,Y(z)-4z-1Y(z)+y-1+4z-2Y(z)+z-1y-1+y-2=4X(z),Yzi(z),Yzs(z),将差分方程两边进行单边z变换得,求解此代数方程可得系统完全响应的z域表示式,解：,yzsk=Z-1Yzs(z)=1.6(k+1)(2)k+0.96(2)k+1.44(-3)kuk,yk=yzik+yzsk,= -6.4k(2)k-5.44(2)k+1.44(-3)k,k0,例13 某离散LTI系统满足 yk-4yk-1+4yk-2 = 4xk，已知y-1=0 ，y-2=2，xk=(-3)k uk，由z域求yzi k、yzs k、yk。,

39、解：,令k=k-2,例14 已知一LTI离散系统满足差分方程,由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应。,对差分方程两边做z变换,解：,零输入响应为,例14 已知一LTI离散系统满足差分方程,由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应。,解：,零状态响应为,例14 已知一LTI离散系统满足差分方程,由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应。,解：,例1 求单位延时器yk=xk-1的系统函数H(z)。,利用z变换的位移特性，有,根据系统函数的定义，可得,即单位延时器的系统函数H(z) 为z-1 。,解：,例2 一LTI离散系统，其初始状态为y-1=8，y-2=2, 当输入xk= (0.

40、5)kuk时，输出响应为 yk= 4(0.5)kuk- 0.5k(0.5)k-1 uk-1-(-0.5)kuk 求系统函数H(z)。,解：,对于初始状态为y-1=8, y-2=2的一般二阶系统,H(z),例2 一LTI离散系统，其初始状态为y-1=8，y-2=2, 当输入xk= (0.5)kuk时，输出响应为 yk= 4(0.5)kuk- 0.5k(0.5)k-1 uk-1-(-0.5)kuk 求系统函数H(z)。,解：,例3 试判断下面因果LTI离散系统的稳定性。,该因果系统的收敛域为|z|1.5,收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。,从收敛域看,系统的极点为z1=0.5, z2=1.5,极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。,从极点看,解：,例4 一因果离散系统如图所示， 求 a) H(z) b)系统稳定时k的范围。,系统稳定,解：,例6,已知 试作其直接型，并联型及级联型的模拟框图。,1）直接型,Y(z),解：,已知 试作其直接型，并联型及级联型的模拟框图。,2）并联型,例6,X(z),Y(z),解：,已知 试作其直接型，并联型及级联型的模拟框图。,3）级联型,例6,X(z),Y(z),